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Grenzwert von Funktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beispiel

 
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Christian-

Christian- aktiv_icon

06:04 Uhr, 21.05.2022

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Hallo,

es geht mir um den Grenzwert einer reellen Funktion f(x) und die damit verbundene ε und δ -Umgebung (siehe Bild).

Ich kann es zwar etwas verstehen, aber ich bräuchte ein konkretes Beispiel, um diese Definition besser zu begreifen.

1)Kann mir dabei jemand behiflich sein?

Ich weiß, dass man das ε frei wählen kann. Sei also ε=0,5.
Sei die Funktion f(x)=1x gegeben f: \' {0}.

2)Wie sieht es nun mit der δ -Umgebung aus? Entsteht sie auotmatisch, oder muss man
sie auch frei wählen?

3) Wählt man sich zu erst die ε- Umgebung oder die δ -Umgebung aus?


Ich schicke also das x als Beispiel gegen .
Und dann schaue ich mir den Grenzwert an.

limx1x=1=0

Der Grenzwert ist also L=0.

Ich würde dann sowas haben:

|f(x)-L|<ε
|f(x)-0|<0,5

...



IMG_20220521_052329

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

09:12 Uhr, 21.05.2022

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"Ich weiß, dass man das ε frei wählen kann."

Nein, das ist falsch.
Du wählst nichts. Du musst zeigen: für jede ε>0 existiert δ=δ(ε)>0, so das...
Also δ ist in Wirklichkeit Funktion von ε.

"2)Wie sieht es nun mit der δ -Umgebung aus? Entsteht sie auotmatisch, oder muss man
sie auch frei wählen?"
"3) Wählt man sich zu erst die ε− Umgebung oder die δ -Umgebung aus?"

Man wählt nichts, aber man konstuiert die Funktion δ(ε) so, dass es passt.

Beispiele.

1. f(x)=2x+3, Grenzwert im Punkt 1. In diesem Fall passt die δ(ε)=ε/2, denn x-1<δ=ε/2 => f(x)-f(1)=2x+3-5=2x-1<2δ=ε.

2. f(x)=x2, Grenzwert im Punkt 0. In diesem Fall passt die δ(ε)=min{ε,1}, denn x-0<δ=min{ε,1} => f(x)-f(0)=x2<δ2δε.

3. f(x)=1/x, Grenzwert im Punkt 2. In diesem Fall passt die δ(ε)=min{2ε,1}, denn x-2<δ=min{2ε,1} =>
x2-x-2>1 und deshalb f(x)-f(2)=1x-12=x-22x<δ2=ε.

Wenn die Frage kommt, wie man denn δ(ε) passend definiert: dazu gibt's keine Regeln oder Vorschriften. Das ist fast schon eine Kunst. Zum Glück braucht man das eigentlich fast nie selbst zu machen, wenn man Mathematik lernen will.
Christian-

Christian- aktiv_icon

21:11 Uhr, 22.05.2022

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Vielen Dank, ich muss noch etwas nachdenken.
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