Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Häufungspunkte, limes superior-inferior Folge

Häufungspunkte, limes superior-inferior Folge

Universität / Fachhochschule

Tags: Häufungspunkt, Limes Superior

gonnabeph aktiv_icon

14:37 Uhr, 31.05.2014

Hi, ich habe die Aufgabe von der Folge

a_{n}

ist definiert:

1 + (\frac{1}{2})^{n}, & für n = 3 k

2 + \frac{n + 1}{n}, & für n = 3 k + 1

2, für n = 3 k + 2

(Ich kann irgendwie nicht eine stückweise definierte Funktion darstellen)

Meine Ideen dazu sind:

Wenn

a_{3 k}

dann gilt

a_{3 k} = 1 + (\frac{1}{2})^{3 k}

: Wenn ich mir nun den Limes dazu anschaue:

lim_{n \to \infty} a_{3 k} = 1

\frac{1}{2^{3 k}}

eine Nullfolge ist. Damit müsste der Limes superior 1 sein.

Zu dem Limes inferior dachte ich mir ich betrachte den Limes gegen Minus Unendlich. D.h.

lim_{n \to - \infty,} 1 + (\frac{1}{2^{3 k}}) = \infty

Damit ist die Limes inferior Unendlich.

Sind meine Überlegungen bis hierhin richtig?

Schonmal vielen lieben Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

anonymous

14:53 Uhr, 31.05.2014

1)

Was ist denn die Aufgabe?
Du hast zwar eine Folge beschrieben, aber vergessen, niederzuschreiben, was damit anzustellen ist.
Na ja, aus der Überschrift wage ich zu ahnen, dass Häufungspunkte gesucht sind.

2)

Deine Überlegung zum

lim a_{3 \cdot k}

für

k \to

Unendlich finde ich richtig.

3)

Da Folgen normalerweise einen Beginn haben, zB.

k = 0

(du hast es nicht niedergeschrieben), ist die Überlegung für

k \to

-Unendlich normalerweise obsolet.
Ansonsten müsstest du eben angeben, in welchen Bereichen

k

sich bewegen soll...

Wenn denn

(3 \cdot k)

tatsächlich

\to

-Unendlich rauschen sollen soll, dann würde ich zwar formal auch schreiben:

lim_{k \to - \infty}

aber ansonsten ist die Überlegung gut.

gonnabeph aktiv_icon

15:04 Uhr, 31.05.2014

Ja,ja, da fehlt doch noch die Aufgabenstellung! :-D)

Also hier: Bestimmen Sie sämtliche Häufungspunkte, den Limes superior und den Limes inferior der Folge

a_{n}

.

Einen Startwert für die Folge ist nicht angegeben. Ich dachte mir dazu auch schon da wir die natürlichen Zahlen ohne die Null eingeführt haben das ich den Limes gegen Minus Unendlich garnicht betrachten darf da ja quasi nur das Intervall von

[1, \infty)

infrage kommt ...Für die erste Teilfolge habe ich außerdem keinen Häufungspunkt ausmachen können. Liege ich damit richtig?

anonymous

17:22 Uhr, 31.05.2014

Wenn du die Aufgabenstellung so vollständig wiedergegeben hast, dann würde ich davon ausgehen, dass wie üblich die Folge nur für positive

n

bzw.

k

zu untersuchen ist.
Nebenbemerkung: Du sprichst vom Intervall

[1, \infty]

und von "natürlichen Zahlen ohne die Null", warum eigentlich ohne die Null?
Aber für die Fragestellung ist dies unerheblich.

Also, für die Teilfolge

(3 \cdot k)

hast du ja schon den Grenzwert ermittelt. Wir sind uns einig, der Grenzwert ist 1.
Jetzt schlage ich vor, dass du genauso systematisch Überlegungen zu den Grenzwerten der anderen Teilfolgen

(3 \cdot k + 1)

sowie

(3 \cdot k + 2)

anstellst.

Zu Limes superior bzw. inferior musste ich mich auch erst mal schlau machen, unter:
http//de.wikipedia.org/wiki/Limes_inferior

Hieraus wage ich verstanden zu haben, dass du nicht wie oben den Index gegen -Unendlich laufen lassen musst, sondern genauso

n \to \infty

bzw.

k \to \infty

Und die Häufungspunkte sind ja dann auch offensichtlich. Oder hast du etwa noch Fragen / Unsicherheiten?

gonnabeph aktiv_icon

20:31 Uhr, 31.05.2014

Also ist der Limes Inferior Unendlich bei der ersten Teilfolge? Es gibt dann ja so wie ich es verstanden habe nur den einen Häufungspunkt und das wäre die 1 der auch gleichzeitig der Grenzwert ist. Ist das so richtig?

anonymous

23:16 Uhr, 31.05.2014

Ähm...nein,,, ähm ??!??
Gehen wir doch Schritt für Schritt vor.
Die Teilfolge

(3 \cdot k)

hat den "Grenzwert" 1.
Die Teilfolge

(3 \cdot k + 1)

hat den "Grenzwert":

. .

. Na jetzt aber, lass dich nicht nochmals betteln.

Die Teilfolge

(3 \cdot k + 2)

hat den "Grenzwert":

. .

. Na jetzt aber, lass dich nicht nochmals betteln.

Du wirst sehen, dass dies drei verschiedene Grenzwerte sind. Aus diesem Grund ist es, wenn ich recht überlege und verstehe, auch nicht ganz richtig, von 'Grenzwert' zu sprechen. Ich habe "Grenzwert" deshalb oben in Anführungszeichen gesetzt.

Ich hoffe, wir sind uns einig, dass aus der Tatsache, dass die Folge insgesamt also ständig zwischen mehreren Werten hin und her springt, also divergent ist, und also im strengen Sinne keinen Grenzwert hat.

Aber du kannst nun sicherlich endlich die Häufungspunkte benennen.
Und dann wenden wir uns dem Limes Inferior und dem Limes Superior zu.

gonnabeph aktiv_icon

10:34 Uhr, 01.06.2014

Jetzt wird einiges deutlicher. Also ist die Folge

a_{n}

nur unterteilt in drei Teilfolgen? Es heißt ja wenn alle Teilfolgen von

a_{n}

konvergieren und den selben Grenzwert

a

besitzen so konvergiert die Folge

a_{n}

gegen

a

.

Also für die beiden Teilfolgen erhalte ich dann:

2)

lim_{k \to \infty} 2 + \frac{3 k + 2}{3 k + 1} = 2 + 1 = 3

lim_{k \to \infty} 2 = 2

Soweit richtig? :-)

anonymous

10:44 Uhr, 01.06.2014

ja (und weil onlinemathe keine Antwort aus 2 Buchstaben zulässt: nochmals ja)

gonnabeph aktiv_icon

10:52 Uhr, 01.06.2014

Demnach sind also die Häufungspunkte 1,2,3. Nun der Limes inferior, Wie soll ich den denn bestimmen? Das ich den Limes mit k gegen -unendlich betrachte macht ja nicht viel Sinn ...

anonymous

11:21 Uhr, 01.06.2014

Hallo
wer unter
http//de.wikipedia.org/wiki/Limes_inferior
liest, der liest:
...Limes superior und Limes inferior einer Folge (xn)

[

bezeichnet] den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter Teilfolgen...

Was ist denn der größte Wert aus

1, 2,

und 3 ?
Was ist denn der kleinste Wert aus

1, 2,

und 3 ?

gonnabeph aktiv_icon

11:27 Uhr, 01.06.2014

Dann ist

l i m s u p = 3

und

l i m i n f = 1

und die Häufungspunkte sind

1, 2, 3

.

Der zweite Teil der Aufgabe lautet nun:

Von der Folge

a_{n}

sei bekannt, dass die Teilfolgen

a_{2 n}

a_{2 n + 1}

und

a_{3 n}

konvergieren. Konvergiert dann

a_{n}

selbst?

Ich würde hier mit der selben Argumentation argumentieren wie in Aufgabenteil a). Es ist zwar ein notwendiges Kriterium das die Teilfolgen konvergieren aber kein hinreichendes da die Teilfolgen auch gegen den selben Grenzwert konvergieren müssen.

Geht das so?

Schonmal lieben Dank!

anonymous

21:56 Uhr, 01.06.2014

Ja richtig. Um konvergent zu sein müsste die Folge ja auf einen eindeutigen Grenzwert hin-tendieren.
Unsere Folge hingegen springt ständig zwischen den Werten

>

(ungefähr) 1

>

(ungefähr) 2

>

(ungefähr) 3
hin und her. Sie ist also eindeutig divergent.

gonnabeph aktiv_icon

23:05 Uhr, 01.06.2014

Alles klar, damit ist die Aufgabe gelöst. Vielen lieben Dank!

1169951

1169593

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?