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Halbordnung, maximales Element, Maximum

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Tags: Funktion, Halbordnung, maximales Element, Maximum, Ordnungsrelation

 
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anonymous

anonymous

16:48 Uhr, 28.02.2014

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Ich habe ein enormes Verständnisproblem, was der Unterschied/Zusammenhang zwischen Maximum und maximalem Element ist. Die Definitionen habe ich mehrfach gelesen, aber ich verstehe es einfach nicht.

ich habe eine konkrete Aufgabe, aber ich weiß nicht, ob euch daran klar wird, was mein Problem ist...:



Folgende Aufgabe:

Sei (M,≤) eine halbgeordnete Menge (“poset”), d.h. sei M eine Menge mit einer Halbordnung ≤ auf M.

a) Sei m ∈ M ein Maximum. Zeigen Sie, daß m dann das einzige maximale Element von M
ist. (Deshalb nennen wir m auch besser das Maximum von M.)

b) Geben Sie ein möglichst kleines Beispiel (d.h. M habe so wenig, wie m̈oglich Elemente) dafür, daß ein maximales Element m ∈ M nicht notwendigerweise ein Maximum sein muss.

c) Sei m ∈ M das einzige maximale Element einer halbgeordneten Menge M . Folgt daraus, daß mein Maximum ist (Beweis/Gegenbeispiel)?̈ Andert sich das Ergebnis,wenn Sie voraussetzen, daß M eine endliche Menge ist?

Beweis:
(a) Sei m ′∈ M ein maximales Element. Da m=max(M), folgt m′ ≤ m. Da m′ maximal ist, impliziert das aber m′= m.

(b) ({a,b},=) ist das kleinste Beispiel – hier sind beide Elemente a,b maximal, aber dann wegen (a) kein Maximum (was man naẗurlich auch direkt sieht).

(c) Sei M endlich. Wir zeigen, daß m=max(M): Für ein Element k ∈ M mit k <≠ m folgt k ≠ m,d.h. k kann nicht maximal sein. Damit gibt es ein k1 ≠ k mit k ≤ k1 (kurz: k <≠ k1), und damit folgt insbesondere auch k1 <≠ m.
Diesen Prozess setzen wir fort und erhalten so eine unendliche Folge
k=k0,k1,k2,... von Elementen aus der endlichen Menge M mit ki <≠ ki+1. → Widerspruch.

Darf M allerdings unendlich sein, dann nehmen wir das Beispiel M:= (N,≤)∪{x}, wobei x ∈ M mit keinem der Elemente aus N vergleichbar sei. Dann ist x das einzige maximale Element in M, es ist aber kein Maximum.

?? Ein Element ist maximal, wenn es keinen Nachfolger gibt. ??



Wieso ist x das einzige maximale Element, wenn die Menge unendlich ist, es also immer einen Nachfolger für jedes Element gibt? Außerdem wurde doch schon in der Aufgabenstellung festgelegt, dass m einziges maximales Element ist. Ich verstehe den Beweis nicht. Und weiter: Wieso ist x kein Maximum?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

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