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Hoch- und Tiefpunkte mit Vorzeichenwechsel
Schüler Gymnasium,
Tags: Hoch- und Tiefpunkte, lim, Vorzeichenwechsel
 
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Ich will rechnerisch beweisen, wo sich die Extremstellen befinden und ob sie Hochpunkte oder Tiefpunkte sind. Dies geht eigentlich ganz leicht mit der zweiten Ableitung. Wenn dann handelt es sich um einen Tiefpunkt und bei um einen Hochpunkt. Wenn aber 0 ist, kann man nicht sagen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Daher möchte ich es mit dem Vorzeichenwechsel an der Steigung überprüfen. Jedoch besteht bei dem Vorzeichenwechsel ein Problem. Man wählt eine Zahl die in der Nähe des x-Wertes der Extremstelle liegt und berechnet da die Steigung mit der ersten Ableitung. Zwischen dieser gewählten Zahl und dem x-Wert der Extremstelle kann sich die Steigung aber noch ändern. Gibt es eine Lösung, um dies zu verhindern? Kann man vielleicht statt einer in der Nähe liegenden Zahl, den Limes benutzen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Grundsätzlich müsstest du solange in höherer Ableitungen einsetzen, bis an der Stelle einmal ein Wert ungleich Null rauskommt. Ob es dann ein Extremwert oder ein Terassenpunkt ist, hängt davon ab, ob der Ableitungsindex gerade oder ungerade ist. Im Falle eines Extremwerts (erste an der betrachteten Stelle von Null verschiedene Ableitung hat geraden Ableitungsindex) entscheidet dann wie gewohnt das Vorzeichen über Hoch- oder Tiefpunkt. |
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Schau mal hier: de.wikipedia.org/wiki/Sattelpunkt |
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Mach dir klar: Es gilt: Extrempunkte kennzeichnen sich durch: Diese werden unterschieden in: Hochpunkte: f"(x) Sattelpunkte: f"(x) Tiefpunkte: f"(x) |
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Muss es ein Sattelpunkt sein? Bei zum Beispiel gilt: für aber wenn man den Vorzeichenwechsel berechnet: -für ist negativ -für ist positiv In diesem Fall handelt es sich um einen Tiefpunkt und nicht um einen Sattelpunkt |
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Ja, dein Beispiel zeigt eben, dass es falsch ist, zu behaupten, dass mit und ein Sattelpunkt vorliegen würde. Wie oben schon geschrieben, muss man so lange ableiten, bis man auf eine Ableitung stößt, deren Wert an der Stelle ungleich 0 ist In deinem Beispiel und wäre das erst die vierte Ableitung . Da diese Ableitung einen geraden Ableitungsindex hat, liegt ein Extremwert vor, da die Ableitung an der Stelle positiv ist, liegt ein Tiefpunkt vor. Man spricht hier auch von einen Flachpunkt. Je mehr Ableitungen an einer Stelle Null sind, desto "gerader"/flacher verläuft der Graph an dieser Stelle. |
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Du hast richtig erkannt, dass es nicht ausreicht die Ableitung an einzelnen Punkten in der Nähe der Extremstelle zu berechnen. Es ist vielmehr notwendig, dass in einer hinreichend kleinen Umgebung des x-Wertes der Extremstelle der Vorzeichenwechsel stattfindet. Für ist das leicht einzusehen, denn es gilt: für alle und für alle Außerdem gilt für damit ist der Vorzeichenwechsel bewiesen. In diesem Fall kann die Umgebung sogar beliebig groß gewählt werden. |
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Es ist vielmehr notwendig, dass in einer hinreichend kleinen Umgebung des x-Wertes Und das ist eben (abgesehen von Aufgaben, die im Schulbereich gestellt werden) . recht problematisch. Und genau diese Problematik mit dieser "hinreichend" kleinen Umgebung hat der Fragesteller ja in seinem ersten Posting richtig erkannt und war der Kern der Frage! Bei tritt diesbezüglich kein Problem auf, aber dieses Beispiel hatte eduardo ja auch nur gewählt, um auf den Fehler in der Antwort von N8Eule hinzuweisen. |
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Vielen Dank für eure Unterstützung. Ich habe noch keinen Weg gefunden, um die Wahl zweier Punkte bei dem Vorzeichenwechsel zu berechnen, aber Roman's Weg ist vielleicht einfacher. Ich weiß nicht ob ich dich richtig verstanden habe... Man leitet die Ursprungsfunktion so lange ab, bis die Ableitungsfunktion nicht mehr 0 ist. Die Anzahl an Ableitungen, der Ableitungsindex, gibt bei gerader Anzahl eine Extremstelle an und nicht ein Sattelpunkt. Ist das Ergebnis positiv, so handelt es sich um einen Tiefpunkt und sonst um einen Hochpunkt. Ist das so richtig? |
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Man leitet die Ursprungsfunktion so lange ab, bis die Ableitungsfunktion nicht mehr 0 ist. genauer: bis sie an der betrachteten Stelle nicht mehr Null ergibt, ja. Die Anzahl an Ableitungen, der Ableitungsindex, gibt bei gerader Anzahl eine Extremstelle an und nicht ein Sattelpunkt. Ist das Ergebnis positiv, so handelt es sich um einen Tiefpunkt und sonst um einen Hochpunkt. Ist das so richtig? Ja, so ist es. Hat die erste an der Stelle von Null verschiedene Ableitung einen ungeraden Index, so handelt es sich um einen Terassenpunkt/Sattelpunkt, also einen Wendepunkt mit waagrechter Wendetangete. Das Vorzeichen gibt dann quasi an, ob die Funktion von links unten nach rechts oben verläuft oder umgekehrt. Das Problem mit den stellen in der Nähe der relevanten Stelle hast du ja richtig erkannt. Da müsstest du zusätzlich noch zeigen/argumentieren, dass die Ableitungsfunktion im Intervall zwischen und dieser Nachbarstelle weder eine Nullstelle noch eine Unstetigkeitsstelle (zB. Sprung oder Pol) hat. Das mag bei einigen Funktionen leicht machbar sein, bei anderen vl aber eher schwierig. So einfach, wie bei wo man leicht zeigen kann (siehe Nick76), dass die Ableitung für IMMER negativ und für IMMER positiv ist, wirds leider selten sein. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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