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Ideen zur Eulerschen Zahl

Schüler Maturitätsschule, 13. Klassenstufe

Tags: Eulersche Zahl, Ideen, Themen

anonymous

16:40 Uhr, 03.08.2018

Guten Nachmittag zusammen

Ich muss eine Arbeit(Maturaarbeit) schreiben. Mich interessiert Mathematik, vorallem die Eulersche Zahl. Wie soll ich die Eulersche Zahl bei meiner Arbeit untersuchen oder welche Themen zur Eulerschen Zahl soll ich betrachten? Habt Ihr Ideen oder Tipps, die ihr mir geben könntet?

Meine Ideen sind folgende:
- verschiedene Darstellungsarten der Eulerschen Zahl beschreiben
- Eigenschaften der Eulerschen Zahl untersuchen
- Welche Bedeutung hat die Eulersche Zahl in der Natur und in Anwendungen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Roman-22

17:22 Uhr, 03.08.2018

Du hast bereits einen Thread zu dem Thema eröffnet:
www.onlinemathe.de/forum/Buecher-zur-eulerschen-Zahl

Englischsprachige Literatur findest du auch hier unten bei den Quellenangaben
http//mathworld.wolfram.com/e.html

Der Aufbau, Zugang, Betrachtungswinkel und die Themenauswahl sind doch gerade das, was deine Eigenleistung ausmacht und was deine Arbeit von den sicher unzähligen anderen Schülerarbeiten zum gleichen Thema ein kleinwenig unterscheiden sollte.

ledum aktiv_icon

19:23 Uhr, 03.08.2018

Hallo
die eulersche Zahl hat wohl in der "Natur" keine Anwendung, allerdings, ist

f (x) = C \cdot e^{x}

die einzige Funktion für die gilt

f' (x) = f (x)

und mit

f (0) = 1

gilt

f (x) = e^{x}

Also wirst du wohl kaum "Anwendungen" von

e

finden sondern nur von

e^{x}

. Was du wohl nicht beweisen kannst ist dass

e

nicht nur nicht rational ist, sondern sogar transzendent.
was meinst du mit " verschiedene Darstellungsarten der Eulerschen Zahl"?
Gruß ledum

anonymous

20:55 Uhr, 03.08.2018

Danke für deine Hilfe

anonymous

20:58 Uhr, 03.08.2018

Mit den verschiedenen Darstellungsarten meine ich Darstellung als Reihenentwicklung, als Grenzwert und als Kettenbruch...

Respon

21:56 Uhr, 03.08.2018

Recht trivial, aber trotzdem anmutig:
Gilt

\int_{1}^{m} \frac{1}{x} d x = 1,

so muss

m

die Eulersche Zahl sein.
oder in Verbindung mit Faktorielle

lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = e

oder mit der Kreiszahl

π

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \sqrt[n]{\frac{n!}{\sqrt{2 \cdot π \cdot n}}} = \frac{1}{e}

und weitere

. .

anonymous

22:05 Uhr, 03.08.2018

Danke! Im Wikipedia hat es noch weitere Darstellungsarten. Ich würde sie einfach beschreiben.

ledum aktiv_icon

13:38 Uhr, 04.08.2018

Hallo
einfach beschreiben ist keine Mathematik, warum soll man das denn glauben? Ausgehen muss man doch von einer Definition von

e,

welche nimmst du da? und dann müsste man zeigen, dass die anderen Formeln wirklich dieselbe Zahl ergeben. Du willst ja einen Mathe Vortrag halten oder schreiben, und da ist das Aufzählen von Formeln, die man einfach "glaubt" sicher nicht hilfreich.
Gruß ledum

anonymous

16:17 Uhr, 05.08.2018

Hallo,
ich würde die Darstellungsarten beschreiben, wie sie entstanden sind.
Ich werde nicht nur eine Definition für

e

erwähnen.

SmoothCriminal aktiv_icon

21:16 Uhr, 05.08.2018

Also geschichtlich "entstanden" ist die Zahl

e

durch's Aufkommen der Zinseszinsrechnung, bzw. durch Logarithmen, die kurz danach näher untersucht wurden..

Zinsformel bei Jahreszins:

K_{n} = K_{0} \cdot {(1 + p %)}^{n}

..bei monatlicher Verzinsung:

K_{m} = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{12})}^{12}

..bei täglicher Verzinsung

K_{t} = K_{0} \cdot {(1 + \frac{p}{360})}^{360}

usw.

bei stetiger Verzinsung:

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{p}{n})}^{n}

und das strebt eben gegen

e^{p}

.

Entdeckt wurde die Zahl vor Euler also bereits durch Mathematiker, die obige Formel untersuchten. Sie konnten den Wert für

p = 1

auch bereits umständlich berechnen - kannten den Wertvon

e

etwa in der Analysis oder natürlichen Prozessen allerdings nicht.

Außerdem war

e

beim Logarithmieren bereits aufgetaucht (bzw. der Kehrwert von

e) -

es ist also schwer "den Entdecker" von

e

zu benennen.

Die Erkenntnis, dass

f (x) = e^{x}

gleichzeitig die eigene Ableitung angibt, wird eben Euler zugeschrieben, er erkannte durch Umformungen des Differentialquotienten, dass eine Funktion

f (x) = a^{x},

dessen Ableitung wieder

a^{x}

ergeben soll, eben

a = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

haben muss. Der Grenzwert an sich war aber

s . o

. bereits bekannt.

Soweit zumindest mein Stand der Dinge..

anonymous

21:56 Uhr, 06.08.2018

Danke :-)

anonymous

21:56 Uhr, 06.08.2018

Danke:-)

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