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Indexverschiebung bei voll. Induktion

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: indexversiebung, voll. induktion

8mileproof aktiv_icon

10:51 Uhr, 01.02.2012

hallo, hab folgende aufgabe zur indexverschiebung, weil sie mich einfach mal zur verzweiflung bringt...gerade bei induktions-aufgaben, die ich wegen der indexveriebung nicht zu ende bringen kann.

also :

die aufgabe lautet:

\sum_{k = 1}^{2 n} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k}

die IA und IV habe ich mal übersprungen und bin sofort zum IS übergegangen, weil ich dort die meisten fehler mache. also:

zu zeigen ist doch:

\sum_{k = 1}^{2 n + 2} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = \sum_{k = n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k}

also :

\sum_{k = 1}^{2 n + 2} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2}

so jetzt erhöhe ich doch die summe bzw. den laufindex

n

n + 1

d . h

. ich muss in meiner rechnung

n + 1

abziehen:

\sum_{k = n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2}

und ab hier weiß ich nicht mehr weiter...und ich hasse das so kurz vorm ziel immer aufgeben zu müssen, obwohl man so viel lernt....;;(((

wie kann ich hier weitermachen? ich hab versucht die restlichen terme irgendwie auf den selben nenner zu bringen und hab gehofft die würden sich einfach wegkürzen, aber nein das taten sie nicht...welch ein wunder!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

8mileproof aktiv_icon

11:14 Uhr, 01.02.2012

also ich hab jetzt folgendes raus:

ich mach da weiter wo ich induktionsannahme schon eingesetzt habe:

... . = \sum_{n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} = \sum_{n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k} - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} =

\sum_{n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k} - (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 (n + 1)}) =

\sum_{n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k} - (\frac{2}{2 (n + 1)} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 (n + 1)})

\sum_{n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k} - (\frac{1}{2 n + 2} + \frac{1}{2 n + 1}) =

\sum_{n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k} - \frac{1}{2 n + 2} - \frac{1}{2 n + 1}

jetzt hab ich doch im vergleich zu vorher 2 endterme zu viel oder und die kürzen sich doch mit dem minuszeichen weg. so ergibt sich doch

\sum_{n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k} - \frac{1}{2 n + 2} - \frac{1}{2 n + 1} = \sum_{n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k}

vulpi aktiv_icon

11:21 Uhr, 01.02.2012

Ich wollte mich zunächst mal bedanken, dass meine Mühe mit Nichtbeachtung gewürdigt wurde !

http//www.onlinemathe.de/forum/vollstaendige-Induktion-1113

lg

8mileproof aktiv_icon

11:24 Uhr, 01.02.2012

scheiße, ich hab ja die frage schon mal gestellt...sry, bin im klausurstress...da übersieht man das ein oder andere mal, dass man eine aufgabe schon online gestellt....peinlich

; (

....und das wiederum zeigt mir, dass die indexverschiebungssasche immer noch nicht sitzt....

lg ich werde diesen thread schließen....da die frage schon mal beantwortet wurde...;-)

8mileproof aktiv_icon

11:25 Uhr, 01.02.2012

danke noch mal für den hinweis...;-)

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