Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Induktionsaufgabe Induktionsaufgabe mit Wurzel

Induktionsaufgabe Induktionsaufgabe mit Wurzel

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Vollständig Induktion, Wurzel

schockner aktiv_icon

23:10 Uhr, 05.02.2019

Hi, ich bräuchte mal euren Rat bei folgender Aufgabe. Mittels vollständiger Induktion soll ich zeigen, dass gilt:

n \cdot \sqrt{n} > n + \sqrt{n}

für alle

n \geq 4

Induktionsanfang:

4 \cdot \sqrt{4} = 8 > 4 + \sqrt{4} = 6

Stimmt also

Den Induktionsschluss finde ich allerdings schwierig.

Also laut Vorraussetzung gilt für ein beliebiges

k \geq 4 :

k \cdot \sqrt{k} > k + \sqrt{k}

und ich muss zeigen, dass gilt:

(k + 1) \cdot \sqrt{k + 1} > k + 1 + \sqrt{k + 1}

Es gilt ja

k \cdot \sqrt{k} > k + \sqrt{k}

und weil

(k + 1) \cdot \sqrt{k + 1} > k \cdot \sqrt{k}

gilt damit auch

(k + 1) \cdot \sqrt{k + 1} > k + \sqrt{k}

Damit hätte ich schonmal die linke Seite, aber was mache ich mit der rechten Seite? Danke schonmal für eure Tipps :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

23:47 Uhr, 05.02.2019

(k + 1) \cdot \sqrt{k + 1} > k + 1 + \sqrt{k + 1}

k \cdot \sqrt{k + 1} + \sqrt{k + 1} > k + 1 + \sqrt{k + 1}

k \cdot \sqrt{k + 1} > k + 1

k \cdot \sqrt{k + 1} > k \cdot \sqrt{k} > k + \sqrt{k} > k + 1

anonymous

00:00 Uhr, 06.02.2019

schau mal...

rundblick aktiv_icon

00:44 Uhr, 06.02.2019

.
muss der Beweis mit

V . I

. geführt werden ?
es geht nämlich auch anders:
zB so:
zunächst eine

(

in beide Richtungen ) für alle

n \geq 4

sicher gültige kleine Umformung:

n \cdot \sqrt{n} > n + \sqrt{n} \Leftrightarrow

(n - 1) \cdot \sqrt{n} > n \Leftrightarrow

\sqrt{n} > \frac{n}{n - 1} \Leftrightarrow

\sqrt{n} > 1 + \frac{1}{n - 1}

so - für alle

n \geq 4

gilt

\to \sqrt{n} \geq 2 > 1 + \frac{1}{3} > 1 + \frac{1}{n - 1}

fertig.
..da ja sichtlich gilt:

\frac{1}{3} \geq \frac{1}{n - 1} \Leftrightarrow n - 1 \geq 3 \Leftrightarrow n \geq 4 .

.

.

HAL9000

09:29 Uhr, 06.02.2019

Ganz meine Meinung, Induktion bringt hier überhaupt keinen Vorteil - der Induktionsschritt ist nicht spürbar einfacher als ein direkter Beweis ohne Induktion:

Für

n \geq 4

ist

n - 1 > \sqrt{n} - 1 \geq \sqrt{4} - 1 = 1

und damit

(n - 1) (\sqrt{n} - 1) > 1 \cdot 1 = 1

, ausmultipliziert ergibt das

n \sqrt{n} - n - \sqrt{n} + 1 > 1

und umgestellt

n \sqrt{n} > n + \sqrt{n}

, fertig.

anonymous

11:38 Uhr, 06.02.2019

die Aufgabestellung fordert halt mal einen Induktionsbeweis...

HAL9000

12:07 Uhr, 06.02.2019

> die Aufgabestellung fordert halt mal einen Induktionsbeweis

Was das betrifft gibt es ja Mittel und Wege, solche Forderungen formal einzuhalten, wie ich schon mal hier

www.onlinemathe.de/forum/Vollstaendige-Induktion-beim-Binomialkoeffizienten

erwähnt hatte.

schockner aktiv_icon

19:46 Uhr, 06.02.2019

Vielen dank für eure Ratschläge. Habe es hinbekommen :-)

1458434

1458273

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?