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Infimum, Supremum

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Tags: Infimum, Maximum, Minimum, Supremum

123maths123

01:13 Uhr, 16.03.2023

Seien

A, B, C, D, E

und

F

die Mengen:

A = {\frac{1}{n} | n

∈

N, n > 0}, B = {sin n | n

∈

N}, C =

{

2−n

| n

∈

N},

D = {n^{3}

−

n | n

∈

N}, E = {r

∈

R | 1 < r

≤

3}, F = {q

∈

Q | q^{4}

∉

Q}

1)

(infC)(infD)

+

(supE)(infE)

2)

(suprA

+

infA)(supB − infB)

3)

suprF

Ich versteh leider gar nicht wie man sowas löst. Ich hab zahlreiche Videos geschaut aber in denen kam nur vor was Supremum, Infimum, Maximum und Minimum generell bedeutet...

Kann mir jemand helfen, wie ich sowas lösen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HAL9000

08:29 Uhr, 16.03.2023

Für nichtleere Mengen gilt:

Infimum ist die größte aller unteren Schranken, sofern es die gibt - ansonsten

- \infty

.
Supremum ist die kleinste aller oberen Schranken, sofern es die gibt - ansonsten

\infty

.

Beispiel

B

inf B = - 1

und

sup B = 1

, denn man kommt mit \sin\left(n\right) beliebig nahe an diese Werte heran, ohne sie überschreiten zu können (ist übrigens nicht trivial im Nachweis).

Ein Sonderfall ist

F

, denn das ist hier die leere Menge. In dem Fall ist jede Zahl sowohl untere wie auch obere Schranke, daher setzt man

inf \emptyset = \infty

sowie

sup \emptyset = - \infty

Randolph Esser aktiv_icon

18:23 Uhr, 16.03.2023

HAL, dass

{(sin (n))}_{n \in N}

überall auf

[- 1,1]

immer wieder mal vorbeischaut, würde ich so erklären:

Jedes

x \in [0,1]

ist Häufungspunkt von

{(\frac{n}{2 π} - ⌊ \frac{n}{2 π} ⌋)}_{n \in N},

denn

\frac{1}{2 π}

ist irrational.

\Rightarrow

Jedes

x \in [0,2 π]

ist Häufungspunkt von

{(2 π (\frac{n}{2 π} - ⌊ \frac{n}{2 π} ⌋))}_{n \in N}

\Rightarrow

Jedes

x \in [- 1,1]

ist Häufungspunkt von

{(sin (n))}_{n \in N}

.

Dem zugrunde liegt eine Aufgabe aus Forsters Ana

1,

siehe Anhang

(meine Bearbeitung da ist ein bisschen schrottig,

aber daneben ist auch eine Musterlösung).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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