Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Innendreieck im Würfel

Innendreieck im Würfel

Universität / Fachhochschule

Tags: Innendreieck, Raumdreieck, Würfel

richafort aktiv_icon

16:10 Uhr, 05.12.2012

Guten Nachmittag,

auf meine Frage gibt es vermutlich eine einfache Antwort. Gesucht ist die Seitenlänge sowie der Flächeninhalt desjenigen gleichseitigen Dreiecks, welches in einem Würfel mit seinen Spitzen jeweils den Mittelpunkt der Kante eines Würfels berührt. Es handelt sich um die Kanten, die nicht benachbart sind und jeweils in eine der drei Raumesrichtungen weisen. Zum besseren Verständnis habe ich eine Freihandskizze angefügt.

Zusatzfrage: Von diesem Dreieck müsste es vier geben, die sich alle im jeweiligen Dreiecksschwerpunkt schneiden. In welche vier Richtungen weisen die Flächen dieser vier Dreiecke,

d

h

. wie ließe sich dies beschreiben?

Ich bin sehr dankbar für jegliche Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

17:14 Uhr, 05.12.2012

Mit etwas Vektorrechnung lässt sich das gut machen. Der Würfel hat

A (0 | 0 | 0)

bis

H (2 | 2 | 2)

. Dann sind die 3 Ecken in deiner Zeichnung

(0 | 0 | 1), (2 | 1 | 0)

und

(1 | 2 | 2)

. Die Seiten wären dann

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}),

usw. Die Länge ist jeweils

\sqrt{6},

wenn die Würfelkante 2 ist, allgemein also

\frac{1}{2} \cdot

Kante

\cdot \sqrt{6}

. Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite

x

ist

\frac{x^{2}}{4} \cdot \sqrt{3},

hier also

\frac{1}{4} \cdot \sqrt{3} \cdot {(\frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{6})}^{2} = \frac{3}{8} \cdot a^{2} \cdot \sqrt{3},

wenn a die Würfelkante ist.
Die räumliche Lage von Ebenen beschreibt man meistens mit der sogenannten Normalenform. Dazu braucht man einen Vektor, der auf der Dreiecksfläche senkrecht steht, und einen Dreieckspunkt. Wozu brauchst du das ?

Atlantik aktiv_icon

18:16 Uhr, 05.12.2012

Im Dreieck

A B I

meiner Zeichnung hat die Strecke

A I

eine Länge von

b_{3} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} L E = \sqrt{\frac{5}{4} a^{2}} L E = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{5} L E

.

Im Dreieck

A I J

hat die gesuchte Strecke I

J

eine Länge von

a_{4} = \sqrt{\frac{5}{4} a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} L E = \sqrt{\frac{6}{4} a^{2}} L E = \frac{a}{2} \sqrt{6} L E

mfG

Atlantik

Zeichnung:

anonymous

18:39 Uhr, 05.12.2012

es genügt eigentlich, einen Würfel der Kantenlänge 1 zu betrachten.
Das Koordsyst. ist so gelegt, dass der Ursprung in der "hinteren" Ecke liegt.
Im gezeichneten Fall sind die Flächennormalen kollinear zu (1,1,1) - die Dreieckfläche liegt nun so im Raum, dass der gewählte Normalenvektor (1,1,1) vom Ursprung in Richtung der Raumdiagonalen zur gegenüberliegenden Ecke weist.

richafort aktiv_icon

08:16 Uhr, 06.12.2012

Herzlichen Dank an alle Ratgeber! Das ist, was ich wissen wollte. Gern würde ich mich revanchieren, könnte dies aber besser auf musikalischem als mathematischem Gebiete tun...

Nun noch eine sich anschließende Frage. Rein optisch erscheint es mir, als würde die Raumdiagonale mit der Länge SQR(3) mein ursprüngliches Raumdreieck mittig und senkrecht durchstoßen. Ist dies so? Es gibt ja vier Raumdiagonalen im Würfel.

Die Länge von einer Würfelecke zum Durchstoßpunkt wäre dann SQR(3)/2, was der Höhe im gleichseitigen Dreieck bei LE=1 entspricht.

anonymous

10:23 Uhr, 06.12.2012

eine kleine Zusammenfassung:

Gruß irrsinn07

Kleinigkeit vergessen: der Abstand des Durchstoßpunktes = Schwerpunkt des Dreiecks vom Ursprung ist 0,5*sqrt(3)

richafort aktiv_icon

11:04 Uhr, 06.12.2012

Lieber irrsinn07, das ist ja alles andere als Irrsinn! Ich möchte mich sehr herzlich für Deine Mühe bedanken.

Mittlerweile habe ich mir das schöne Verhältnis zwischen Würfelkante

(a)

und Dreiecksseite

(d)

anschaulich gemacht, siehe Anlage. Eine Wurzelzahl der Reihe

6 \cdot {(n - 1)}^{2}

steht jeweils einer ganzen Zahl der Reihe

n + 2

bzw.

n + 3

gegenüber.

anonymous

11:42 Uhr, 06.12.2012

kleiner (fast unnötiger) Zusatz:

richafort aktiv_icon

12:53 Uhr, 06.12.2012

Aber nur fast unnötig! Danke vielmals. Falls noch weiter Lust am Antworten besteht (würde mich freuen):

In welchem Winkel stehen denn die Dreiecksebenen zueinander? In demselben, den die Raumdiagonalen zueinander bilden? (Da habe ich mittlerweile in Erfahrung gebracht, dass dieser kein rechter Winkel ist...)

Ich würde gern klarer vor mir sehen, wie das Dreiecks-Quartett im Ganzen aussieht

-

in welche Richtungen die vier Flächen weisen. Dazu kann man sich auch vorstellen, dass man den Würfel auf eine Ecke stellt, so, dass eine Raumdiagonale senkrecht nach oben ausgerichtet ist.

anonymous

17:20 Uhr, 06.12.2012

Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es? (Die Ebenen, die diese Dreiecke enthalten, sind teilweise identisch!)
Die Ebenen, die zwei "verschiedene" Dreiecke enthalten, schneiden sich unter einem Winkel von 70,53°
Zwei Raumdiagonalen schneiden sich unter einem Winkel von 70,53°
Allen Dreiecken ist der Schwerpunkt (0,5|0,5|0,5) gemeinsam

Wenn ich noch einmal beginnen würde, dann würde ich den koordinatenursprung in den Schnittpunkt der Raumdiagonalen (=Schwerpunkt eines jeden solchen Dreiecks) legen.
Man könnte sich überlegen, ob dann die verschiedenen Lagen nicht durch Rotation ineinander übergeführt werden können - dann wäre eh alles klar.

richafort aktiv_icon

08:52 Uhr, 07.12.2012

Ich kann mir immer noch nicht richtig vorstellen, in welche Richtungen die Dreiecksflächen,

d . h

. die entsprechenden Raumdiagonalen-Strahlen weisen, siehe hierzu auch die angehängte Grafik. Könntest Du beschreiben, welche zwei Dreiecke jeweils identisch sind?

anonymous

11:22 Uhr, 07.12.2012

nicht: "identisch sind", sondern: in der gleichen Ebene liegen

ich brauche etwas Zeit, da ich anderweitig beschäftigt bin - melde mich aber wieder.
Gruß irrsinn07

anonymous

19:31 Uhr, 07.12.2012

ich hab mal versucht, teilweise mit einem Programm, teilweise von Hand die Situation zu skizzieren.
Kleine Rechnungen jeweils anbei
Natürlich könnte man letztlich alles in einem Resümee zusammenfassen - das bleibt dir überlassen.
Gruß irrsinn07

anonymous

19:32 Uhr, 07.12.2012

Skizzen fehlen!

anonymous

19:45 Uhr, 07.12.2012

na endlich - Entschuldigung!

richafort aktiv_icon

10:04 Uhr, 09.12.2012

Ich frage, womit ich diese Freundlichkeit verdient habe... allerherzlichsten Adventsdank! Ich habe erst morgen Zeit, mir die Sache genauer anzuschauen und möchte jetzt nur diesen Dank loswerden.

anonymous

11:38 Uhr, 09.12.2012

alles klar
es gibt halt Dinge, die einem selbst interessant vorkommen, die manchmal auf der Hand liegen, aber die man trotzdem nicht sieht.

Im Sommer bei bestem Wetter würde ich diese Fragen ganz bestimmt nicht anpacken.
Gruß irrsinn07

richafort aktiv_icon

15:52 Uhr, 10.12.2012

Ich gebe zu, dass ich ein wenig enttäuscht bin darüber, dass es nur zwei und nicht vier verschiedene Dreiecksebenen gibt. Ich werde einmal versuchen, zwei weitere Dreiecke zu den beiden zu finden, die in jeweils einer der beiden Ebenen liegen (die senkrecht zu HB und DF liegen, wie Du schreibst...). Leider fehlt mir heute wieder die Zeit, und ich hoffe weiterhin auf schlechtes Wetter ;-) Deine Aufzeichnungen sind jedenfalls ausgedruckt und meiner Studienmappe zur abendlichen Meditation einverleibt...

Freut mich, mit einem recht simplen Problem die Aufmerksamkeit eines offenbar gewandten Zahlenkundlers geweckt zu haben! (Manchmal ist ja gerade das scheinbar Simple interessant und tief)

anonymous

15:58 Uhr, 10.12.2012

nein, nein.... - es fehlen in der Betrachtung noch 2 Raumdiagonalen!
Das führt zu weiteren 2 Ebenen.
Skizziere die Punkte und ich rechne.

richafort aktiv_icon

16:04 Uhr, 10.12.2012

*Aufseufz!*

Skizzieren kann ich erst morgen. Es handelt sich aber um die Ebenen, die Du als senkrecht auf den Raumdiagonalen HB und DF liegend angesprochen hast. (Übrigens habe ich schon mit einem Magnetstab-Würfelmodell meiner Kinder herumgespielt und die Dreiecke darin mit einem Faden versucht aufzuspannen.)

Vielleicht muss man gar nicht mehr rechnen? Es ist ja bereits hergeleitet, dass die Gattung meiner Dreiecke senkrecht auf jeweils einer Raumdiagonale steht. Was ich im Moment noch wissen muss ist, wie man die Richtung, in die die vier Raumdiagonalen

(=

die Oberfläche der Dreiecke) zeigen, beschreiben kann.

anonymous

16:22 Uhr, 10.12.2012

vom Mathem. her reicht die Betrachtung - man legt verschiedene Ecken des Würfels in den Ursprung - dann ergeben sich die gleichen Überlegungen.

Die Richtung der Raumdiagonalen liegt doch eindeutig fest. Ob der Normalenvektor z.B. vom Ursprung zur gegenüberliegenden Ecke zeigt oder umgekehrt, ist unerheblich.

richafort aktiv_icon

08:33 Uhr, 11.12.2012

So, ich habe nun die beiden noch fehlenden Dreiecke meiner Gattung gefunden. In der anhängenden Grafik habe ich die Eckpunkte

U 1 U 2 U 3

und

V 1 V 2 V 3

eingetragen. Zusammen mit den Dreiecken

P 1 P 2 P 3

und

Q 1 Q 2 Q 3

Deiner beiden letzten Grafiken bilden sie eine Vierheit mit hoffentlich verschiedenen Ebenen. Dies ist, was ich Dich bitten würde zu überprüfen. Vielen Dank im Voraus!

anonymous

18:46 Uhr, 11.12.2012

meine letzten Zuckungen:

richafort aktiv_icon

12:33 Uhr, 12.12.2012

Hoffentlich waren's nur vorletzte Zuckungen!

Offen gesagt, habe ich ein wenig den Überblick verloren und versuche daher noch einmal zusammenzufassen, was ich suche. Mal andersherum gesagt: Gibt es vier Innendreiecke des bekannten Typs, von denen jedes senkrecht auf einer der vier Raumdiagonalen steht, woraus folgt, dass alle vier auf verschiedenen Ebenen liegen?

Hier die bisher besprochenen Dreiecke samt ihrer zugehörigen Raumdiagonale:

T 1 T 2 T 3

(EC)

Q 1 Q 2 Q 3

(EC)

P 1 P 2 P 3

(AG)

R 1 R 2 R 3

(AG)

U 1 U 2 U 3

(DF)

Q 1 U 1 P 3

(DF)

V 1 V 2 V 3

(BH)

Ein BH-Dreieck fehlt also noch. In der Kombination der bisherigen Dreiecke bekam ich höchstens drei in verschiedenen Ebenen liegende zusammen, nämlich

P 1 P 2 P 3, Q 1 Q 2 Q 3

und

V 1 V 2 V 3

. Die drei verbleibenden Punkte fügen sich allerdings nicht zu einem weiteren Dreieck meiner Lieblingsgattung zusammen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1057853

1055904

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?