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Integral 0 -> f 0

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Tags: Integration

 
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Lamy99

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11:32 Uhr, 14.06.2021

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Hallo,

ich habe Wahrscheinlichkeitsmaße u,v und Lebesguedichten fu,fv und soll zeigen, dass

d(u,v):=fu(x)-fv(x)dx=0 fu(x)=fv(x)

heißt, das würde aus f(x)=0 f(x)=0 folgen, oder? Ich weiß leider nicht, wie genau man das zeigt...

Danke für jede Hilfe!



Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

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11:41 Uhr, 14.06.2021

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"heißt, das würde aus ∫ℝf(x)=0 ⇒ f(x)=0 folgen, oder?"

Nur für stetige f mit f(x)0 in allen x. Was aber in diesem Fall stimmt (bei Stetigkeit bin ich nicht sicher, das hängt davon ab, wie die Dichten definiert wurden).

Das ist dann leicht zu zeigen. Wäre f(x0)0 in einem x0 => f(x0)>0 => existiert eine Umgebung (x0-a,x0+a), so dass für alle x daraus f(x)>0.5f(x0) und dann f(x)dxx0-ax0+af(x)dxx0-ax0+a0.5f(x0)dx=0.5f(x0)2a>0. Widerspruch.

PS. Wenn die Dichten nicht stetig ist, stimmt die Aussage nicht unbedingt.
Lamy99

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12:07 Uhr, 14.06.2021

Antworten
Vielen Dank für deine Antwort! Ich habe noch zwei Rückfragen:
1. du hast a>0 gewählt, richtig?
2. warum genau muss f(x)>0.5f(x0) für alle x(x0-a,x0+a) gelten?
Lamy99

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12:52 Uhr, 14.06.2021

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Zusatz zu Frage 2: oder hast du einfach irgendeine Konstante c>0 gewählt, für die f(x)>cf(x0) für x(x0-a,x0+a) gilt, speziell c=0.5 damit sich die 2 aus dem Integral kürzt? Danke im Voraus
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:57 Uhr, 14.06.2021

Antworten
Ja, a>0.
0.5 ist da recht willkürlich. Aus f(x0)>0 und Stetigkeit folgt, dass für alle ε>0 existiert δ>0, so dass x(x0-δ,x0+δ) => f(x)>f(x0)-ε.
Da ist es praktisch, ε=0.5f(x0) zu wählen. Würde natürlich auch ε=0.3f(x0) gehen und sonst was.
δ ist dann dasselbe wie a, ich finde a einfacher zu schreiben, als \delta.

Frage beantwortet
Lamy99

Lamy99 aktiv_icon

13:59 Uhr, 14.06.2021

Antworten
Okay, vielen Dank! :-)
Lamy99

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12:03 Uhr, 15.06.2021

Antworten
Ich habe noch eine etwas andere Frage.

Ich soll nämlich zeigen, dass d(u,v) eine Metrik ist, heißt d(u,v)=0u=v

Nun haben wir ja gezeigt, dass wenn d(u,v)=0fu(x)=fv(x), folgt u=v dann aus der Eindeutigkeit der Dichte?

Und gilt das auch für die Rückrichtung? Also ich soll zeigen dass wenn u=vd(u,v)=0, das zeigt man ja mit fu(x)=fv(x) am besten, da dann der Betrag fu(x)-fv(x)=0 ist.

Danke!
Lamy99

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12:09 Uhr, 15.06.2021

Antworten
Zusatz: wir haben die Dichtefunktion nur als stückweise stetig definiert. Wie zeige ich die Aussage in meinem ersten Beitrag dann?
Antwort
HAL9000

HAL9000

13:48 Uhr, 15.06.2021

Antworten
Genau genommen ist dieses fu(x)=fv(x) zu lesen NICHT im Sinne "für alle x", sondern "für Lebesgue-fast alle x".

Wie ja generell in der Maßtheorie Radon-Nikodym-Dichten bzgl. eines Maßes μ immer nur bis auf eine μ-Nullmenge eindeutig definiert sind.

Stetigkeit würde das ganze eindeutig machen, dummerweise gibt es aber sehr oft diese stetigen Dichten nicht - schon bei sehr einfachen Verteilungen wie der stetigen Gleichverteilung nicht.
Lamy99

Lamy99 aktiv_icon

13:50 Uhr, 15.06.2021

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Danke für deine Antwort! Wie zeige ich d(u,v)=fu(x)-fv(x)=0u=v dann? Mit u,v,fu,fv definiert wie oben
Antwort
HAL9000

HAL9000

14:04 Uhr, 15.06.2021

Antworten
Man kann z.B. folgende Mengen definieren: An:={x:fu(x)-fv(x)1n} .

Dann kann man abschätzen:

0=d(u,v)Anfu(x)-fv(x)dx1nλ(An),

mithin gilt λ(An)=0 für alle n1 und daher der Maßstetigkeit wegen auch λ(A)=limnλ(An)=0 für

A:=n1An={x:fu(x)-fv(x)>0}.

Dieses λ(A)=0 ist gleichbedeutend mit fu(x)-fv(x)=0 und damit fu(x)=fv(x) für Lebesgue-fast alle x.
Lamy99

Lamy99 aktiv_icon

14:46 Uhr, 15.06.2021

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Ich verstehe noch nicht so ganz warum λ(An)=0 für alle n1 gilt und warum λ(A)=0 gleichbedeutend ist mit fu(x)fv(x)=0... Es muss ja u=v gezeigt werden, folgt das mit fu(x)=fv(x)?
Antwort
HAL9000

HAL9000

14:52 Uhr, 15.06.2021

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Ich hab grundsätzlich mit fu,fv gearbeitet, und die zugrunde liegenden Maße u,v erstmal außen vor gelassen.

λ(A)=0 heißt, dass die Menge aller x, für die diese Gleichheit NICHT gilt, das Lebesgue-Maß Null hat - das ist nun mal die Definition von "Lebesgue-fast überall". Die schreibe ich nicht auch nochmal extra auf, ein bisschen solltest du dich auch selbst mal bewegen.

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