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Integral 0 -> f 0

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Integration

Tags: Integration

Lamy99 aktiv_icon

11:32 Uhr, 14.06.2021

Hallo,

ich habe Wahrscheinlichkeitsmaße

u, v

und Lebesguedichten

f_{u}, f_{v}

und soll zeigen, dass

d (u, v) := \int_{ℝ} ∣ f_{u} (x) - f_{v} (x) ∣ d x = 0

\Rightarrow

f_{u} (x) = f_{v} (x)

heißt, das würde aus

\int_{ℝ} f (x) = 0

\Rightarrow

f (x) = 0

folgen, oder? Ich weiß leider nicht, wie genau man das zeigt...

Danke für jede Hilfe!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

11:41 Uhr, 14.06.2021

"heißt, das würde aus ∫ℝf(x)=0 ⇒ f(x)=0 folgen, oder?"

Nur für stetige

f

mit

f (x) \geq 0

in allen

x

. Was aber in diesem Fall stimmt (bei Stetigkeit bin ich nicht sicher, das hängt davon ab, wie die Dichten definiert wurden).

Das ist dann leicht zu zeigen. Wäre

f (x_{0}) \neq 0

in einem

x_{0}

f (x_{0}) > 0

=> existiert eine Umgebung

(x_{0} - a, x_{0} + a)

, so dass für alle

x

daraus

f (x) > 0.5 f (x_{0})

und dann

\int f (x) d x \geq \int_{x_{0} - a}^{x_{0} + a} f (x) d x \geq \int_{x_{0} - a}^{x_{0} + a} 0.5 f (x_{0}) d x = 0.5 f (x_{0}) \cdot 2 a > 0

. Widerspruch.

PS. Wenn die Dichten nicht stetig ist, stimmt die Aussage nicht unbedingt.

Lamy99 aktiv_icon

12:07 Uhr, 14.06.2021

Vielen Dank für deine Antwort! Ich habe noch zwei Rückfragen:
1. du hast

a > 0

gewählt, richtig?
2. warum genau muss

f (x) > 0.5 f (x_{0})

für alle

x \in (x_{0} - a, x_{0} + a)

gelten?

Lamy99 aktiv_icon

12:52 Uhr, 14.06.2021

Zusatz zu Frage 2: oder hast du einfach irgendeine Konstante

c > 0

gewählt, für die

f (x) > c f (x_{0})

für

x \in (x_{0} - a, x_{0} + a)

gilt, speziell

c = 0.5

damit sich die

2

aus dem Integral kürzt? Danke im Voraus

DrBoogie aktiv_icon

13:57 Uhr, 14.06.2021

Ja,

a > 0

.
0.5 ist da recht willkürlich. Aus

f (x_{0}) > 0

und Stetigkeit folgt, dass für alle

ε > 0

existiert

δ > 0

, so dass

x \in (x_{0} - δ, x_{0} + δ)

f (x) > f (x_{0}) - ε

.
Da ist es praktisch,

ε = 0.5 f (x_{0})

zu wählen. Würde natürlich auch

ε = 0.3 f (x_{0})

gehen und sonst was.

δ

ist dann dasselbe wie

a

, ich finde

a

einfacher zu schreiben, als \delta.

Lamy99 aktiv_icon

13:59 Uhr, 14.06.2021

Okay, vielen Dank! :-)

Lamy99 aktiv_icon

12:03 Uhr, 15.06.2021

Ich habe noch eine etwas andere Frage.

Ich soll nämlich zeigen, dass

d (u, v)

eine Metrik ist, heißt

d (u, v) = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} u = v

Nun haben wir ja gezeigt, dass wenn

d (u, v) = 0 \Rightarrow f_{u} (x) = f_{v} (x)

, folgt

u = v

dann aus der Eindeutigkeit der Dichte?

Und gilt das auch für die Rückrichtung? Also ich soll zeigen dass wenn

u = v \Rightarrow d (u, v) = 0

, das zeigt man ja mit

f_{u} (x) = f_{v} (x)

am besten, da dann der Betrag

∣ f_{u} (x) - f_{v} (x) ∣ = 0

ist.

Danke!

Lamy99 aktiv_icon

12:09 Uhr, 15.06.2021

Zusatz: wir haben die Dichtefunktion nur als stückweise stetig definiert. Wie zeige ich die Aussage in meinem ersten Beitrag dann?

HAL9000

13:48 Uhr, 15.06.2021

Genau genommen ist dieses

f_{u} (x) = f_{v} (x)

zu lesen NICHT im Sinne "für alle

x

", sondern "für Lebesgue-fast alle

x

".

Wie ja generell in der Maßtheorie Radon-Nikodym-Dichten bzgl. eines Maßes

μ

immer nur bis auf eine

μ

-Nullmenge eindeutig definiert sind.

Stetigkeit würde das ganze eindeutig machen, dummerweise gibt es aber sehr oft diese stetigen Dichten nicht - schon bei sehr einfachen Verteilungen wie der stetigen Gleichverteilung nicht.

Lamy99 aktiv_icon

13:50 Uhr, 15.06.2021

Danke für deine Antwort! Wie zeige ich

d (u, v) = \int_{ℝ} ∣ f_{u} (x) - f_{v} (x) ∣ = 0 \Rightarrow u = v

dann? Mit

u, v, f_{u}, f_{v}

definiert wie oben

HAL9000

14:04 Uhr, 15.06.2021

Man kann z.B. folgende Mengen definieren:

A_{n} := {x \in ℝ : ∣ f_{u} (x) - f_{v} (x) ∣ \geq \frac{1}{n}}

.

Dann kann man abschätzen:

0 = d (u, v) \geq \int_{A_{n}} ∣ f_{u} (x) - f_{v} (x) ∣ d x \geq \frac{1}{n} λ (A_{n})

,

mithin gilt

λ (A_{n}) = 0

für alle

n \geq 1

und daher der Maßstetigkeit wegen auch

λ (A) = lim_{n \to \infty} λ (A_{n}) = 0

für

A := ⋃_{n \geq 1} A_{n} = {x \in ℝ : ∣ f_{u} (x) - f_{v} (x) ∣ > 0}

.

Dieses

λ (A) = 0

ist gleichbedeutend mit

∣ f_{u} (x) - f_{v} (x) ∣ = 0

und damit

f_{u} (x) = f_{v} (x)

für Lebesgue-fast alle

x

Lamy99 aktiv_icon

14:46 Uhr, 15.06.2021

Ich verstehe noch nicht so ganz warum

λ (A_{n}) = 0

für alle

n \geq 1

gilt und warum

λ (A) = 0

gleichbedeutend ist mit

∣ f_{u} (x) - f_{v} (x) ∣ = 0

... Es muss ja

u = v

gezeigt werden, folgt das mit

f_{u} (x) = f_{v} (x)

HAL9000

14:52 Uhr, 15.06.2021

Ich hab grundsätzlich mit

f_{u}, f_{v}

gearbeitet, und die zugrunde liegenden Maße

u, v

erstmal außen vor gelassen.

λ (A) = 0

heißt, dass die Menge aller

x

, für die diese Gleichheit NICHT gilt, das Lebesgue-Maß Null hat - das ist nun mal die Definition von "Lebesgue-fast überall". Die schreibe ich nicht auch nochmal extra auf, ein bisschen solltest du dich auch selbst mal bewegen.

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