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Integral 1/(x-1)?
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:05 Uhr, 09.05.2004  |
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Wenn ich 1/x integriere, bekomme ich ln x heraus, soviel ist klar, aber wie lautet das Integral von 1/(x-1)? Bitte eilen, brauche Antwort bis Freitag (Abitur!)! |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Hallo, > Wenn ich 1/x integriere, bekomme ich ln x heraus, soviel ist klar, aber wie > lautet das Integral von 1/(x-1)? Eine Stammfunktion von f(x)=1/(x-1) ist F(x)=ln(x-1). Warum? Kettenregel: F(x)=u(v(x)) mit (etwa) (I) u(x):=ln(x) und (II) v(x):=x-1. Aus (I) folgt: u'(x)=1/x, also gilt: (I') u'(v(x))=1/(v(x))=1/(x-1). Aus (II) folgt: (II') v'(x)=1. Dann gilt nach der Kettenregel: F'(x)=u'(v(x))*v'(x) und mit (I') und (II') folgt: F'(x)=(1/(x-1))*1=1/(x-1)=f(x) PS: Aus Zeitgründen habe ich die genauen Voraussetzungen nicht notiert, evtl. kann jemand anderes sie ergänzen (falls gewünscht)... Viele Grüße Marcel |
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Hallo! Ich hätte auch noch ein paar kleinere Bemerkungen, die die von Marcel ergänzen sollten. Die Stammfunktion von f(x) = 1/(x - 1) ist F(x) = ln(x - 1). Dieses sollte folgendermassen ergänzt werden: <=> x - 1 > 0, d.h. x > 1. Verallgemeinerung: für alle x ungleich 1 ist die Stammfunktion F(x) = ln|x-1| + C, wo C die sgn. Integrationskonstante ist (eine reelle Zahl). Sollte ich etwas vergessen, dann sorry. Viele Grüße Marian |
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