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Integral Betrag x

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Integration

Tags: Grenzen zwischen - unendlich und unendlich, Integration

geoty aktiv_icon

10:26 Uhr, 21.12.2010

Hallo an alle!

Ich habe bei folgendem Integral etwas unsicher. Ich soll überprüfen, ob das Integral =1 ist:

$\int_{- \infty}^{\infty} 1 - | x | d x = \int_{- \infty}^{\infty} 1 d x - \int_{- \infty}^{\infty} | x | d x = 2 * \infty - \int_{- \infty}^{0} - x d x + \int_{0}^{\infty} x d x = 2 * \infty - (0, 5 * x^{2})_{- \infty}^{0} - (0, 5 * x^{2})_{0}^{\infty} = 2 * \infty - \infty = \infty$

Das heißt doch, dass die Funktion nicht integrierbar ist, oder? Und wenn ich mir |x| ansehe, ist das ja auch im Punkt x=0 der Fall.

Liege ich da richtig?

Wäre super, wenn jemand von euch das kurz prüfen könnte!!!!!!!!

Frohe Weihnachten!!!

Grüße von geoty

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

DerCommander aktiv_icon

12:22 Uhr, 21.12.2010

du hast da einen vorzeichenfehler drin. du hast ja das integral von

\int 1 - | x | d x

korrekt getrennt nach

\int 1 d x

und

\int - | x | d x

. nur ist dann bei der auftrennung von

\int - | x | d x

- (\int (- x) d x + \int x d x)

eben die äußere klammer nicht vorhanden. so wäre es dann

- \int (- x) d x - \int (x) d x

. das wird dann zu

- - \int x d x - \int x d x

DerCommander aktiv_icon

12:26 Uhr, 21.12.2010

du kannst ja auch

| x | = \sqrt{x^{2}}

setzen. was ja dann einfacher zu integrieren ist.

geoty aktiv_icon

08:54 Uhr, 25.12.2010

Hallo!

Vielen Dank für deine schnelle Antwort!!!!!

Ich erhalte dann trotzdem:

$2 * \infty + \int_{- \infty}^{0} x d x - \int_{0}^{\infty} x d x = 2 * \infty + (0 - 0, 5 * {(- \infty)}^{2}) + (0, 5 * \infty^{2} - 0) = 2 * \infty - 0 = 2 * \infty = \infty$

Stimmte das eigentlich mit der Integrierbarkeit im Punkt x=0 (also, dass sie da nicht integrierbar ist)?

Schöne Weihnachten!!!!!!!!!!!!!

geoty

pleindespoir aktiv_icon

22:12 Uhr, 25.12.2010

\int_{- \infty}^{+ \infty} 1 - ∣ x ∣ d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} 1 d x + \int_{- \infty}^{+ \infty} - ∣ x ∣ d x

Der erste Summand dürfte ja wohl kein Problem sein:

\int_{- \infty}^{+ \infty} 1 d x

[x]_{- \infty}^{+ \infty}

[+ \infty] - [- \infty]

2 \cdot \infty

und der zweite Summand:

\int_{- \infty}^{+ \infty} - ∣ x ∣ d x

aufgeteilt an der Knickstelle:

\int_{- \infty}^{0} - ∣ x ∣ d x + \int_{0}^{+ \infty} - ∣ x ∣ d x

jetzt die Beträge auflösen

\int_{- \infty}^{0} - (- x) d x + \int_{0}^{+ \infty} - x d x

Vorzeichen auflösen

\int_{- \infty}^{0} x d x - \int_{0}^{+ \infty} x d x

integrieren

[½ x^{2}]_{- \infty}^{0} - [½ x^{2}]_{0}^{+ \infty}

½ ([0 - (- \infty)^{2}] - [(+ \infty)^{2} - 0])

½ ([- \infty^{2}] - [\infty^{2}])

½ [- 2 \infty^{2}]

- \infty^{2}

wieder zusammengebaut:

\int_{- \infty}^{+ \infty} 1 - ∣ x ∣ d x = 2 \cdot \infty - \infty^{2}

immernoch ziemlich unendlich ... im negativen Sinne ...

Fischers Riesz aktiv_icon

03:10 Uhr, 26.12.2010

\int_{- \infty}^{\infty} 1 - ∣ x ∣ d x \leq \int_{(- \infty, - 2] U [2, \infty)} - 1 + \int_{(- 2, 2)} 1 = - \infty \Rightarrow \int_{- \infty}^{\infty} 1 - ∣ x ∣ d x = - \infty

übrigends sind aklle stetigen funktionen und alle funktionen mit endlich vielen sprungstellen integrierbar, auch wenn die integrale hin und wieder

\infty

oder

- \infty

ergeben (komischerweise im gegensatz zur analysis von folgen als bestimmter grenzwert angesehen)

geoty aktiv_icon

15:44 Uhr, 26.12.2010

Hallo!

Vielen, vielen Dank für eure Antworten!

Immer diese Vorzeichen... ;)

Viele Grüße von geoty

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