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Integral als Skalarprodukt

Universität / Fachhochschule

16:32 Uhr, 05.06.2018

Zeigen Sie, dass durch (f,g) =

\int_{a}^{b} f (x) \overline{g} (x) d x

ein Skalarprodukt auf dem C Vektorraum C([a,b]) der stetigen komplexen Funktionen auf [a,b] deﬁniert ist

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

17:17 Uhr, 05.06.2018

Hossa ;-)

Für

< f ∣ g > := \int_{a}^{b} f (x) \cdot \bar{g (x)} d x

musst du eigentlich nur die 3 Anforderungen an ein komplexes Skalarprodukt überprüfen.

1) Sesquilinearität:

< f + g ∣ h > = \int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] \cdot \bar{h (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) \cdot \bar{h (x)} d x + \int_{a}^{b} g (x) \cdot \bar{h (x)} d x = < f ∣ h > + < g ∣ h >

< f ∣ g + h > = \int_{a}^{b} f (x) \cdot \bar{[g (x) + h (x)]} d x = \int_{a}^{b} f (x) \cdot \bar{g (x)} d x + \int_{a}^{b} g (x) \cdot \bar{h (x)} d x = < f ∣ g > + < g ∣ h >

< λ f ∣ g > = \int_{a}^{b} λ \cdot f (x) \cdot \bar{g (x)} = λ \cdot \int_{a}^{b} f (x) \cdot \bar{g (x)} = λ < f ∣ g >

< f ∣ λ g > = \int_{a}^{b} f (x) \cdot \bar{λ g (x)} = \bar{λ} \cdot \int_{a}^{b} f (x) \cdot \bar{g (x)} = \bar{λ} < f ∣ g >

2) Hermitizität:

\bar{< g ∣ f >} = \bar{\int_{a}^{b} g (x) \cdot \bar{f (x)} d x} = \int_{a}^{b} \bar{g (x)} \cdot \bar{\bar{f (x)}} d x = \int_{a}^{b} f (x) \cdot \bar{g (x)} d x = < f ∣ g >

3)Positive Definitheit:

< f ∣ f > = \int_{a}^{b} f (x) \cdot \bar{f (x)} d x = \int_{a}^{b} {∣ f (x) ∣}^{2} d x \geq 0

Manchmal wird noch verlangt zu zeigen, dass

< f ∣ f > = 0

genau dann gilt, wenn

f (x) = 0

ist. Das ist hier aber klar, weil

< f ∣ f >

ja das Quadrat des Betrages von

f (x)

ist.

18:01 Uhr, 05.06.2018

Vielen Dank "Der Depp". Hast mir gut weitergeholfen :-)

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