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Integral berechnen (2D)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Lexiii92 aktiv_icon

08:34 Uhr, 03.06.2013

Guten! Also ich muss ein zweidimensionales Integral berechnen.

\int_{M} y e^{- \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})} d (x, y)

mit

M := (x, y) \in ℝ^{2} | y > 0, x < y

Es ist ja ein zweidimensionales Integral, also integriere ich zuerst nach

x

oder

y,

oder halt andersrum.

\int \int e^{- \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})} d (x, y)

Aber was sind bei mir jetzt die Grenzen, ich werden aus

M := (x, y) \in ℝ^{2} | y > 0, x < y

nicht schlau was die Grenzen sind.

Ich vermute das x-Integral geht von

|_{0}^{\infty}

und das y-Integral

|_{0}^{- \infty}

?

LG und Danke Alex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

08:58 Uhr, 03.06.2013

Hallo,

wenn Du auf den Integrangen schaust (beim zweiten Mal hast Du Dich vertippt), dann siehst Du, dass Du zunächst über

y

integrieren musst, weil es bezüglich

x

keine elementare Stammfunktion gibt.

Du brauchst also eine Darstellung für

M

in der Form

y \in [a, b]

und

x \in [g (y), h (y)] -

wobei

a, b

auch

\infty

sein können. Hast Du schon

M

skizziert?

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

09:05 Uhr, 03.06.2013

Hey danke pwmeyer,

zuerst über

y

integrieren, weil

x

keine Stammfunktion hat, okay. Nein skizziert habe ich mir dies nicht, wie würde man es denn machen? Ist ja

2 D,

habe noch nie sowas skizziert.

Du meintest

y \in [a, b]

und

x \in [g (x), h (y)]

wobei

a, b

auch

\infty

sein können? Wieso nur können wieso ist es nicht eindeutig?

Habe es mit partieller Integration versucht zu lösen, aber irgendwie klappt das nicht.

pwmeyer aktiv_icon

09:32 Uhr, 03.06.2013

Hallo,

"Nein skizziert habe ich mir dies nicht, wie würde man es denn machen? Ist ja

2 D,

habe noch nie sowas skizziert."

M

ist doch 2-dimensional, liegt also in der Ebene, das lässt sich doch skizzieren.

"Wieso nur können wieso ist es nicht eindeutig?"

Natürlich ist es eindeutig, aber nicht alle Grenzen sind

\infty - z . B

. wir doch

y > 0

verlangt.

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

09:43 Uhr, 03.06.2013

Ja klar

y > 0

daraus folgt doch, dass die Grenzen von Null bis unendlich sind?

Und

x < y

bedeutet doch wenn

y

größer Null ist also unendlich das kleiner unendlich halt minus unendlich ist?

Nur beim Lösen des Integrals komme ich nicht weiter, jedenfalls nicht zu Fuß.

Lg Alex

pwmeyer aktiv_icon

10:13 Uhr, 03.06.2013

Hallo,

ich sehe gerade, dass ich meinen eigenen Rat nicht befolgt habe: Es sollte das innere Integral über

y

gehen.

Also haben wir

(x, y) \in M \Leftrightarrow y > 0

und

x < y

. Wir haben also 2 Teilgebiete

- x < 0

und

y > 0 : x \in] - \infty,0]

und

y \in] 0, \infty]

- x > 0

und

y > x : x \in [0, \infty]

und

y \in [x, \infty]

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

10:56 Uhr, 03.06.2013

Ich kann dem zur teilweise folgen. Theoretisch hätte ich jetzt jeweils 4 Integrale? Da das x-Integral jedoch Null wird, habe ich jetzt nur das y-Integral mit zwei Integrationsgebieten? Richtig?

Ich habe aber immer noch Probleme mit der Bestimmung der Stammfunktion. Weder partielle Integration, noch Substitution helfen mir da.

OmegaPirat

11:29 Uhr, 03.06.2013

Hallo. Es ist nicht egal wie rum du integrierst, denn die Integrationsvariablen stecken auch in den Integrationsgrenzen.

Zu den Grenzen:
Stell dir einfach ein zweidimensionales kartesisches Koordinatensystem mit

x -

und y-Achse vor. Die Grenzen der y-Integration gehen von 0 bis unendlich. Die

x

Integration geht bei festem

y

von 0 bis

y

. Wie du siehst, ist die x-Integration über die Grenzen von

y

abhängig. Deshalb musst du als erstes die x-Integration durchführen.

Lexiii92 aktiv_icon

11:39 Uhr, 03.06.2013

Okay, super danke dir. Also:

\int_{M} y e^{- \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})} d (x, y)

mit

M := (x, y) \in ℝ^{2} | y > 0, x < y

\Rightarrow \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} y e^{- \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})} d (x, y)

jetzt integriere ich

\int_{0}^{y} y e^{- \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})} d x

Die Fkt hat aber keine Stammfunktion, wie schreibe ich das dann auf? Und wie integriere ich:

\int_{0}^{\infty} y e^{- \frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})} d y

pwmeyer aktiv_icon

12:19 Uhr, 03.06.2013

@ Omegapirat

"Die

x

Integration geht bei festem

y

von 0 bis

y

." Warum nicht von

- \infty

bis y?

@ Lexii
"Die Fkt hat aber keine Stammfunktion, wie schreibe ich das dann auf? Und wie integriere ich:" Darum mein Hinweis, die umgekehrte Integrationsreihenfolge zu versuchen.

gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

12:52 Uhr, 03.06.2013

"Darum mein Hinweis, die umgekehrte Integrationsreihenfolge zu versuchen."

Ja dann integriere ich zuerst

y

.

Ich erhalte:

\int y e^{\frac{1}{2} (- x^{2} - y^{2})} d y

s u b s t

z = \frac{1}{2} (- x^{2} - y^{2})

dann erhalte ich

\frac{d z}{d y} = - y \Rightarrow d z = - y d y

\int y e^{\frac{1}{2} (- x^{2} - y^{2})} d y = - \int e^{z} d z = - e^{- \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2}}

Und jetzt?

pwmeyer aktiv_icon

13:18 Uhr, 03.06.2013

Hallo,

wir integrieren über 2 TeilGebiete, das erste ist

x \in [- \infty,0]

und

y \in [0, \infty]

Wie lautet dann das entsprechende DoppelIntegral?

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

13:25 Uhr, 03.06.2013

\int y e^{\frac{1}{2} (- x^{2} - y^{2})} d y = - e^{- \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2}}

Dann ist doch das Doppelintegral:

\int_{- \infty}^{0} \int_{0}^{\infty} e^{\frac{1}{2} (- x^{2} - y^{2})} d y = (- e^{- \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2}} |_{- \infty}^{0}) (- e^{- \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2}} |_{0}^{\infty})

Und jetzt einsetzen? Oder doch

d x d y

pwmeyer aktiv_icon

19:50 Uhr, 03.06.2013

Hast du überhaupt schonmal ein endliches Doppelintegral berechnet?

Lexiii92 aktiv_icon

22:36 Uhr, 03.06.2013

Nein habe ich nicht

: - (,

aber da das eine Integral keine Stammfunktion hat macht es für mich nicht leichter bzw. ich weiß nicht wie ich damit umgehen soll.

Lexiii92 aktiv_icon

08:43 Uhr, 04.06.2013

Ein Doppelintegral schon, aber kein endliches. Ich würde gerne wissen was ich falsch gemacht habe, damit ich weitermachen kann.

\int y e^{\frac{1}{2} (- x^{2} - y^{2})} d y = - e^{- \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2}}

Dann ist doch das Doppelintegral:

\int_{- \infty}^{0} \int_{0}^{\infty} y e^{\frac{1}{2} (- x^{2} - y^{2})} d x d y

so?

LG Alex

Lexiii92 aktiv_icon

02:08 Uhr, 05.06.2013

Vielleicht eine Nachteule auch aktiv um diese Uhrzeit?

pwmeyer aktiv_icon

09:21 Uhr, 05.06.2013

Hallo,

also für den ersten Teil:

\int_{- \infty}^{0} [\int_{0}^{\infty} y \cdot e x p (- \frac{x^{2} + y^{2}}{2}) d y] d x = \int_{- \infty}^{0} [- e x p (- \frac{x^{2} + y^{2}}{2}) |_{0}^{\infty}] d x = \int_{- \infty}^{0} [e x p (- \frac{x^{2}}{2}) |_{0}^{\infty}] d x = \sqrt{\frac{π}{2}}

Dabei ist letzteres ein Integral, was man kennen kennen sollte.

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

12:24 Uhr, 05.06.2013

Letzteres? Mir ist nur das integrierbare Integral bekannt also nach

d y

. Wie du auf das Ergebnis kommst ist mir rätselhaft. Möchtest du mir es vielleicht bitte erklären? Das wäre lieb.

pwmeyer aktiv_icon

13:57 Uhr, 05.06.2013

Wie gesagt, es handelt sich da um eine Info, die man im Laufe seines Studiums mal zur Kenntnis nehmen muss. Die Berechnung erfolgt durch den einen oder anderen Trick. Stichworte sind

z . B

. "Fehlerfunktion" oder "Normalverteilung".

Gruß pwm

Lexiii92 aktiv_icon

14:19 Uhr, 05.06.2013

Öhm okay

: (

. Es wäre aber trotzdem nett, wenn du paar weitere Stichworte erwähnen könntest. Fehlerfunktion und Normalverteilung ist ja nicht alles was gemacht wurde. Wenigstens wie das Endergebnis zusammenhängt, bzw. wie es zu Stande kommt. Wäre lieb.

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