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Integral berechnen

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Integration

Tags: Integration

Khokta aktiv_icon

18:19 Uhr, 15.10.2016

Hallo zusammen!
Ich soll folgendes Integral berechnen:

\int \frac{1}{{(x - 2)}^{2} (x^{2} + 4 x + 8)}

Mein Ansatz wäre, hier eine Partialbruchzerlegung zu machen. Nur wie kann ich die Nullstellen von

x^{2} + 4 x + 8

bestimmen?

Lg
Khokta

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Atlantik aktiv_icon

18:24 Uhr, 15.10.2016

f (x) = x^{2} + 4 x + 8

hat keine Nullstellen in

ℝ

Tipps:

http//www.integralrechner.de/

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

mfG

Atlantik

MBSchwingungen aktiv_icon

18:25 Uhr, 15.10.2016

www.wolframalpha.com/input/?i=integral+1%2F((x-2)%5E2*(x%5E2%2B4*x%2B8))

supporter aktiv_icon

18:25 Uhr, 15.10.2016

Es gibt keine reellen Nullstellen.

Wenn du den Term Null setzt und die pq-Formel anwendest, bekommst du eine negative Diskriminante.

PS:
Die Lösung ist nix für schwache Nerven. :-)

Khokta aktiv_icon

19:03 Uhr, 15.10.2016

Hallo, danke erstmal für die raschen Antworten

(:

Ich habe bereits festgestellt, dass die Nullstellen nicht reell sind.

Mit www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

konnte ich feststellen, dass die Nullstellen

x 1 = - 2 - 2 i

x 2 = - 2 + 2 i

sind. Nur weiß ich nicht, wie ich darauf händisch komme?

Lg Khokta

michaL aktiv_icon

19:20 Uhr, 15.10.2016

Hallo,

gehen wir mal davon aus, dass das Integral nach

d x

gebildet werden soll (alles andere ist verhältnismäßig einfach):
> Mein Ansatz wäre, hier eine Partialbruchzerlegung zu machen.

Natürlich ist dies der einzig vernünftige Gedanke dazu.

> Nur wie kann ich die Nullstellen von

x^{2} + 4 x + 8

bestimmen?

Das offenbart eine eingeschränkte Sichtweise auf die Partialbruchzerlegung.
Als Ansatz ist zu wählen:

\frac{1}{(x - 2)^{2} (x^{2} + 4 x + 8)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{(x - 2)^{2}} + \frac{C x + D}{x^{2} + 4 x + 8}

Nun fragst du dich vermutlich, warum das so ist. Da hilft eine Internetsuche weiter.

Die Suchfunktion dieses Forums ist wenig geeignet. Ich habe nämlich in diesem Forum schon einmal sehr ausführlich die Grundsätze der Partialbruchzerlegung dargelegt. Leider finde ich diese Seite auch nicht mehr...
Aber im Netz (siehe Atlantiks Vorschlag) findet sich genug zu diesem Thema.

Mfg Michael

Atlantik aktiv_icon

19:28 Uhr, 15.10.2016

Kannst du bestimmt mal in einem anderen Zusammenhang gebrauchen:

"Nullstellen:

x_{1} = - 2 - 2 i

x_{2} = - 2 + 2 i

Nur weiß ich nicht, wie ich darauf händisch komme?"

x^{2} + 4 x + 8 = 0 | - 8

x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} = - 8 + {(\frac{4}{2})}^{2}

{(x + 2)}^{2} = - 4 = 4 i^{2}

x_{1} = - 2 + 2 i

x_{2} = - 2 - 2 i

mfG

Atlantik

Khokta aktiv_icon

11:06 Uhr, 16.10.2016

Hallo,

sorry hab ich übersehen, natürlich ist das Integral nach

d x

zu bilden.

Ich werde die Partialbruchzerlegung nun mit michals Ansatz machen, danke für eure Hilfe!

(:

Und danke für die Berechnung der Nullstellen, dass kann ich sicher noch öfter gebrauchen

(:

Lg
Khokta

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