Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Integral beweisen mit vollständiger Induktion

Integral beweisen mit vollständiger Induktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, vollst.Induktion

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Ebbitus

Ebbitus aktiv_icon

12:12 Uhr, 10.03.2011

Antworten

Hey,

seit einigen Stunden versuche ich mich an folgender Aufgabe:

Zeige mit vollständiger Induktion, dass für ∀ n ∈ N (einschließlich 0!) gilt:

∫ x n ln ⁡ x d x = ( x n + 1 / ( n + 1 ) ) * ln ⁡ x − ( x n + 1 / ( n + 1 ) 2 )

Kann mir jemand helfen?

Ich habs mithilfe von partieller Integration versucht, aber es klappt einfach nicht!


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Shipwater

Shipwater aktiv_icon

12:32 Uhr, 10.03.2011

Antworten
Induktionsanfang
∫x0ln(x)dx=∫ln(x)dx=x⋅ln(x)-x
x0+10+1⋅ln(x)-x0+1(0+1)2=x⋅ln(x)-x
⇒ Die Formel stimmt für n=0
Induktionsschritt
Induktionsannahme:
∫xnln(x)dx=xn+1n+1⋅ln(x)-xn+1(n+1)2 gelte für ein n∈ℕ0
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch ∫xn+1ln(x)dx=xn+2n+2⋅ln(x)-xn+2(n+2)2
Induktionsbeweis:
∫xn+1ln(x)dx=∫x⋅xnln(x)dx=(xn+1n+1⋅ln(x)-xn+1(n+1)2)⋅x-∫(xn+1n+1⋅ln(x)-xn+1(n+1)2)dx
∫xn+1ln(x)dx=(xn+1n+1⋅ln(x)-xn+1(n+1)2)⋅x-∫xn+1n+1⋅ln(x)dx+∫xn+1(n+1)2dx
∫xn+1⋅ln(x)dx+∫xn+1n+1ln(x)dx=xn+2n+1⋅ln(x)-xn+2(n+1)2+xn+2(n+1)2(n+2)
(1+1n+1)⋅∫xn+1⋅ln(x)dx=xn+2n+1⋅ln(x)-xn+2(n+1)2+xn+2(n+1)2(n+2)
n+2n+1⋅∫xn+1⋅ln(x)dx=xn+2n+1⋅ln(x)-xn+2(n+1)2+xn+2(n+1)2(n+2)
∫xn+1⋅ln(x)dx=xn+2n+2⋅ln(x)-xn+2(n+1)(n+2)+xn+2(n+1)(n+2)2
∫xn+1⋅ln(x)dx=xn+2n+2⋅ln(x)+xn+2-xn+2(n+2)(n+1)(n+2)2
∫xn+1⋅ln(x)dx=xn+2n+2⋅ln(x)+xn+2(1-(n+2))(n+1)(n+2)2
∫xn+1⋅ln(x)dx=xn+2n+2⋅ln(x)-xn+2(n+1)(n+1)(n+2)2
∫xn+1⋅ln(x)dx=xn+2n+2⋅ln(x)-xn+2(n+2)2
Und das war ja zu zeigen.
Frage beantwortet
Ebbitus

Ebbitus aktiv_icon

19:35 Uhr, 10.03.2011

Antworten

Hey shipwater,

vielen Dank für deine ausführliche Lösung! Ich habe die patielle Integration auch angewendet, habe aber nicht so sauber gearbeitet und die Gleichung ausgenutzt, um ausklammern zu können. Man lernt doch immer wieder:

Sauberes Arbeiten ist sooo wichtig!

Vielen Dank!!!
Antwort
Shipwater

Shipwater aktiv_icon

19:39 Uhr, 10.03.2011

Antworten
Gern geschehen.