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Integral cosh^2(x)

Universität / Fachhochschule

Tags: Partielle Integration

funke_61 aktiv_icon

10:35 Uhr, 29.04.2015

Hallo miteinander,
wie löst man am Besten

\int {cosh}^{2} (x) d x

?
Darf ich über partielle Integration wie hier gezeigt

\int {cosh}^{2} x d x = \int cosh cosh x d x

u' = cosh x \to u = sinh x

v = sinh x \to v' = sinh x

\int cosh x cosh x d x = sinh x cosh x - \int sinh x sinh x d x

\int d x

addieren und "gleich wieder" subtrahieren:

\int cosh x cosh x d x = sinh x cosh x + \int d x - \int d x - \int sinh x sinh x d x

(+ \int d x)

zu "

x

" integrieren und

(- \int d x)

in das rechte Integral "hineinziehen"

\int cosh x cosh x d x = sinh x cosh x + x - \int 1 + sinh x sinh x d x

\int {cosh}^{2} x d x = sinh x cosh x + x - \int 1 + {sinh}^{2} x d x

mit

{cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1

folgt

\int {cosh}^{2} x d x = sinh x cosh x + x - \int {cosh}^{2} x d x

2 \int {cosh}^{2} x d x = sinh x cosh x + x + C

\int {cosh}^{2} x d x = \frac{1}{2} (sinh x cosh x + x) + C

oder gibt es einen eleganteren Weg?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

10:38 Uhr, 29.04.2015

Es geht einfacher über

\cosh^{2} (x) = \frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x})^{2} = \frac{1}{4} (e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x})

, denn

e^{a x}

ist direkt integrierbar:

\int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C

funke_61 aktiv_icon

10:48 Uhr, 29.04.2015

Danke, ich versuche auch auf die oben angegbene Stammfunktion zu kommen, da ich sie genau in dieser Form für weitere Berechnungen brauche.
Ist mein obiger Weg mathematisch korrekt oder was sollte ich verbessern?

DrBoogie aktiv_icon

11:07 Uhr, 29.04.2015

Deine Berechnung ist korrekt.

Loewe1

11:50 Uhr, 29.04.2015

Hallo,

möglich für den Integranden ist auch: