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Integral einer Funktionenfolge

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Khokta aktiv_icon

10:53 Uhr, 29.10.2016

Hallo zusammen $(:$
Ich sitze gerade vor folgendem Beispiel und brauche bitte Hilfe:

Sei die Funktionenfolge ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ gegeben mit $f_{n} : [0,2] \to ℝ,$ definiert durch

$f_{n} (x) := n^{2} x χ_{[0, (\frac{1}{n})]} (x) + (2 n - n^{2} x) χ_{(\frac{1}{n} \frac{,2}{n}]} (x),$ für alle $n \in ℕ$ .

(Wobei $χ_{[...]} (x) := 1,$ falls $x \in [...],$ oder 0 falls $x \notin [...]$

Zu zeigen: $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{2} f_{n} d x \neq \int_{0}^{2} lim_{n \to \infty} f_{n} d x$

Mein Problem ist, dass ich überhaupt nicht weiß wie ich diese Folge integrieren soll?

Lg
Khokta

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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11:16 Uhr, 29.10.2016

Die charakteristische Funktion $χ$ gibt dir einfach nur die Integralgrenzen an (weil der Teil außerhalb ja 0 ist):
$\int_{0}^{2} f_{n} d x = \int_{0}^{\frac{1}{n}} n^{2} x d x + \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} (2 n - n^{2} x) d x$
Diese Integrale kannst du sicher lösen, oder? Es sollte 1 herauskommen für jedes $n \in ℕ$ also ist auch $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{2} f_{n} d x = 1$

Khokta aktiv_icon

11:55 Uhr, 29.10.2016

Hallo,

ja stimmt dann komme ich auf $1!$ Das bedeutet ja, dass es völlig egal ist, dass diese Funktion auf $[0,2]$ definiert ist? Und bei $(2 n - n^{2} x) χ_{(\frac{1}{n} \frac{,2}{n}]} (x)$ ist ein halboffenes Intervall für diese charakteristische Funktion gegeben, ich kann aber als untere Grenze trotzdem die $\frac{1}{n}$ wählen?

Lg Khokta

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12:01 Uhr, 29.10.2016

Der Rest liefert halt keinen Beitrag zum Integral, weil die Funktion dort Null ist.
Und ja ob die Grenzen dazu gehören ist egal, weil du eh nur eine Unterscheidung um Nullmengen hast.

Khokta aktiv_icon

12:17 Uhr, 29.10.2016

Achso ok.

Und wie muss ich dann bei der Bildung von $lim_{n \to \infty} f_{n}$ vorgehen? Interessiert mich dabei $χ$ überhaupt?

Lg

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12:25 Uhr, 29.10.2016

Ja, da ist das $χ$ dann natürlich wichtig. Du musst einfach den punktweisen Limes bilden. Für $n \to \infty$ bleibt von den Mengen $[0, \frac{1}{n}]$ und $(\frac{1}{n}, \frac{2}{n}]$ ja nicht mehr viel übrig.

Khokta aktiv_icon

12:44 Uhr, 29.10.2016

Ich glaube mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich mit diesem $χ$ umzugehen habe...
Für $n \to \infty$ ist $\frac{1}{n} \to 0$ also $[0, \frac{1}{n}] = 0$ ? Also wird der ganze Ausdruck $n^{2} x χ_{[0, \frac{1}{n}]} (x) = 0$ ?

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13:22 Uhr, 29.10.2016

Es läuft schon darauf hinaus, dass der punktweise Grenzwert null ist. Ich würde die Fälle $x = 0$ und $x \in (0,2]$ unterscheiden. Lies nochmal nach was punktweise Konvergenz ist. Du musst dafür ein $x$ fixieren und dann $n \to \infty$ laufen lassen.

Khokta aktiv_icon

10:13 Uhr, 30.10.2016

Gut also ich hab das nun folgendermaßen versucht:

Fall $x = 0 :$

Daraus folgt $n^{2} x χ_{[0, \frac{1}{n}]} (x) = 0$ . (weil mit $x$ multipliziert).

Außerdem ist $χ_{(\frac{1}{n}, \frac{2}{n}]} (x) = 0,$ da $x$ nicht in dem Intervall liegt. Also ist $lim_{n \to \infty} f_{n} = 0$ .

Fall $0 < x \leq 2 :$

Es gilt: $\forall x \in (0,2] \exists N \in ℕ$ sodass $\forall n \geq N$ ist $x \notin [0, \frac{1}{n}]$ und $x \notin (\frac{1}{n}, \frac{2}{n}]$

$\Rightarrow χ_{[0, \frac{1}{n}]} (x) = 0$ und $χ_{(\frac{1}{n}, \frac{2}{n}]} (x) = 0$ für $n \to \infty$

$\Rightarrow lim_{n \to \infty} f_{n} = 0, \forall x \in [0,2]$ .

Stimmt das so?

Lg
Khokta

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10:18 Uhr, 30.10.2016

Sieht gut aus.

Khokta aktiv_icon

10:19 Uhr, 30.10.2016

Super jetzt hab ichs verstanden danke vielmals!! $(:$

Lg
Khokta

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11:23 Uhr, 30.10.2016

Keine Ursache.

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