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Integral einer Reihe

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Integration

Tags: Integration, Reihen

drabherb aktiv_icon

19:47 Uhr, 03.01.2012

Hallo

und zwar stehe ich vor folgender Aufgabenstellung.

Sei

f : [0, 1] \to R

eine stetige Funktion. Drücken Sie den Grenzwert

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n})

als bestimmtes Integral aus und berechnen Sie damit die folgenden Grenzwerte:

I)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k^{2}}

II)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k^{2}}}

Aus der Angabe folgt:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n}) \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x \Rightarrow

\frac{1}{n}

als konstant gilt.

Nun versuche ich meinen Grenzwert so umzuformen dass ich nur noch

(\frac{k}{n})

vorliegen habe.

Bei I) habe ich folgendes gemacht.

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k^{2}} \Rightarrow lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + k^{2}} \Rightarrow lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{k}{n})}^{2}} \Rightarrow

\Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x = {tan}^{- 1} (1) - {tan}^{- 1} (0) = \frac{π}{4}

Ich hoffe das stimmt so. Jedenfalls komme ich jetzt bei II) nicht weiter...kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Lg Herb

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

DerDepp aktiv_icon

23:52 Uhr, 03.01.2012

Hossa ;-)

\frac{1}{\sqrt{n^{2} + k^{2}}} = \frac{1}{n} \frac{\sqrt{n^{2}}}{\sqrt{n^{2} + k^{2}}} = \frac{1}{n} \sqrt{\frac{n^{2}}{n^{2} + k^{2}}} = \frac{1}{n} \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{k}{n})}^{2}}}

lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k^{2}}}) = lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{k}{n})}^{2}}}) = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x = {acrsinh (x) ∣}_{x = 0}^{1} = \ln (1 + \sqrt{2})

drabherb aktiv_icon

09:11 Uhr, 04.01.2012

Hi,

vielen Dank für deine Hilfe. Bin fast aufs gleiche gekommen. Nur dass mir dein letzter Schritt von

{sinh}^{- 1} x |_{0}^{1}

auf

ln (1 + \sqrt{2})

Ich bekomme zwar auch

~ 0,8813

raus aber deine Lösung find ich einfach schöner.

Ich hab da dann noch eine Frage.

Ich hab da noch ein Beispiel . Wieder ist das Integral gefragt.

Die Umformung bekomm ich hin nur sind die Granzen des Grenzwertes anders.

Und zwar:

lim_{n \to \infty} \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k}

Ich hab hier folgendes gemacht:

\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} \Rightarrow \frac{1}{n} \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{n}{k} \Rightarrow \frac{1}{n} \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{n}{n \cdot (\frac{k}{n})} \Rightarrow \frac{1}{n} \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{\frac{k}{n}} . .

.
tja und hier weiss ich ned ob ich das Integral Gleich schreiben kann oder ob hier die Grenzen der Summe noch angepasst werden müssen.

Wenn nicht dann hätte man

\int_{0}^{1} \frac{1}{x} = ln (1) - ln (0) . .

. glaub ich aber ned, da ja

ln (0)

ned definiert ist

Bitte nochmal um Hilfe!

+++++++++++++++++++++++++UPDATE:

Ich hab mir das nochmal angeschaut und mir folgendes überlegt:

\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} \Rightarrow

jetzt passe ich das

k

an die Grenzen der Angabe an.

\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k - n} \Rightarrow \frac{1}{n} \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{n}{k - n} \Rightarrow \frac{1}{n} \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{n}{n \cdot (\frac{k}{n} - 1)} \Rightarrow \frac{1}{n} \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{\frac{k}{n} - 1} \Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 1} . .

.

aber auch hier dürfts ned ganz passen... weil hier wieder nach dem Integrieren ein

ln (0)

bzw.

ln (- 1)

kommt und beide nicht definiert sind.

Steh hier echt an??

: - (

DerDepp aktiv_icon

15:05 Uhr, 04.01.2012

Hossa ;-)

Ich empfehle dir hier eine Indexverschiebung:

\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n (1 + \frac{k}{n})} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}

Ok?

drabherb aktiv_icon

15:48 Uhr, 04.01.2012

Danke!
Hab ich geschnallt!

Lg herb

958103

957816

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