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Integral einer inversen Funktion

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Integration

Tags: Integration

PhysikKatze aktiv_icon

13:42 Uhr, 24.01.2023

Hallo!

Ich habe bei folgender Altklausuraufgabe nicht wirklich eine Ahnung, wie ich vorgehen sollte:

"Die Funktion

f : ℝ \to ℝ

mit

f (x) = x + e^{x} - 1

ist invertierbar. Berechnen Sie:
(a)

\int_{0}^{1} f (x) d x

(b)

f^{i n v} (0)

und

f^{i n v} (e)

(c)

\int_{0}^{e} f^{i n v} (x) d x

"

Meine Ideen:
Die (a) habe ich gemacht. Jetzt scheitere ich bei der (b) und (c) daran, die inverse Funktion zu finden. Ich habe mir gedacht, dass es vielleicht einen Trick gibt, mit dem man die Aufgabe lösen kann, ohne eine konkrete inverse Funktion, aber ich habe noch keinen gefunden.

Vielen Dank für die Hilfe und liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

walbus aktiv_icon

13:56 Uhr, 24.01.2023

de.wikipedia.org/wiki/Integral_von_Umkehrfunktionen

Hier die nicht einfache Umkehrfunktion:
www.wolframalpha.com/input?i=invert+x%2Be%5Ex-1

calc007

14:19 Uhr, 24.01.2023

Ich denke, du solltest dir nicht zu lange den Kopf zerbrechen, eine Umkehrfunktion ausdrücklich zu finden oder auf Papier zu schreiben.
Das fordert die Aufgabe eigentlich nicht. Das wäre auch sehr schwerlich bis wahrscheinlich unmöglich.

Mit einer Wertetabelle dagegen wirst du sehr leicht die wenigen benannten Umkehrpunkte finden. Darum geht es hier eigentlich...

Mathe45

14:44 Uhr, 24.01.2023

b)

x + e^{x} - 1 = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow f^{- 1} (0) = 0

x + e^{x} - 1 = e \Rightarrow x = 1 \Rightarrow f^{- 1} (e) = 1

HAL9000

15:05 Uhr, 24.01.2023

Du musst keine explizite Darstellung bestimmen, die Aufgabe lässt sich auch so lösen:

f

ist streng monoton wachsend, u.a. mit mit

f (0) = 0

sowie

f (1) = e

. Wenn du genauer darüber nachdenkst, hast du bereits b) gelöst.

Bei (c) gilt (bitte mal die entsprechenden Flächen skizzieren!) für alle

0 \leq a \leq b

\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{f (a)}^{f (b)} f^{inv} (y) d y = b \cdot f (b) - a \cdot f (a)

.

Wenn man diese visuelle Begründung nicht so mag, kann man auch via Substitution

y = f (x)

das gesuchte

y

-Integral knacken, läuft letztlich aber auf dieselbe Formel hinaus.

PhysikKatze aktiv_icon

16:11 Uhr, 24.01.2023

Vielen Dank an alle!

HAL9000

16:24 Uhr, 24.01.2023

Was hast du denn bei (c) raus?

PhysikKatze aktiv_icon

22:43 Uhr, 25.01.2023

Ich habe als Antwort bei der (c):

\int_{0}^{e} f^{i n v} (x) d x = \frac{3}{2}

Edit: Kurze Rückfrage: Ist der erwähnte geometrische Ansatz allgemeingültig für beliebige invertierbare Funktionen oder gilt dies nur in meinem Beispiel?

HAL9000

10:10 Uhr, 26.01.2023

Ergebnis

\frac{3}{2}

ist richtig.

> Ist der erwähnte geometrische Ansatz allgemeingültig für beliebige invertierbare Funktionen oder gilt dies nur in meinem Beispiel?

Die letztendlich dort ermittelte Integralformel ist abseits der geometrischen Herleitung zumindest für streng monoton wachsende oder streng monoton fallende differenzierbare

f

immer richtig. Kann man (wie oben erwähnt) auch über Substitution

y = f (x)

mit anschließender partieller Integration sehen:

\int_{f (a)}^{f (b)} f^{inv} (y) d y = \int_{a}^{b} x \cdot f^{ʹ} (x) d x = {[x \cdot f (x)]}_{x = a}^{b} - \int_{a}^{b} f (x) d x = b \cdot f (b) - a \cdot f (a) - \int_{a}^{b} f (x) d x

Wie gesagt, die Forderungen an

f

sind hinreichend. Notwendig sind sie wohl nicht (Stetigkeit statt Differenzierbarkeit reicht wohl auch), habe ich jetzt nicht weiter verfolgt, für den obigen Weg ist es im Beweis bequemer, die Differenzierbarkeit vorauszusetzen.

PhysikKatze aktiv_icon

10:19 Uhr, 26.01.2023

Alles klar, danke! :-)

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