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Integral f=0 impliziert f(x)=0

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Differentiation

Integration

Tags: Differentiation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Integration

 
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anonymous

anonymous

17:30 Uhr, 12.11.2017

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Ich grüße alle hilfsbereiten Leser. Die Aufgabe sieht wie folgt aus:

Es sei a<b, f:[a,b]⇒ℝ stetig und f(x)≥0, ∀x∈[a,b].

zz.¯:∫abf(x)dx=0⇒f≡0

Mein Ansatz wäre:
Nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung hat jede stetige Funktion f:[a,b]⇒ℝ eine Stammfunktion F, mit Fʹ=f und ∫abf(t)dt=F(b)-F(a), heißt für meinen Fall:

∫abf(x)dx=F(b)-F(a)=0 (nach Voraussetzung)

Also: F(b)-F(a)=0⇔F(b)=F(a) ∀a,b

⇒F(x)=const., ∀x∈[a,b] und da die Ableitung von const. Funktionen 0 ist folgt:

Fʹ(x)=f(x)=0, ∀x∈[a,b], also f≡0

Meine Fragen wären jetzt:
-Ist das soweit richtig und wenn ja auch ausreichend? Wenn es nicht ausreichend ist muss ich die Bedingung f(x)≥0 miteinbeziehen, denn die habe ich noch nicht genutzt.
-In der Vorlesung wurde uns auch gesagt, dass man das ohne den Hauptsatz zeigen kann. Jemand eine Idee wie?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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michaL

michaL aktiv_icon

18:11 Uhr, 12.11.2017

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Hallo,

aus F(a)=F(b) zu schließen, dass F konstant sein muss, ist - gelinde gesagt - gewagt.

Versuche es vielleicht lieber mit einem Widerspruchsbeweis.
Nimm an, f sei an einer Stelle x0∈[a,b] von Null verschieden, d.h. f(x0)=0.
Benutze die Stetigkeit von f und die Additivität des Integrals bzgl. der Grenzen!

Mfg Michael
anonymous

anonymous

18:28 Uhr, 12.11.2017

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Hallo michaL,
Könntest du mir zumindest sagen, was an der Aussage "gewagt" sein soll?
F(a)=F(b) und dabei sind a und b doch beliebig, d.h. F(x1)=F(x2) egal welche 2 Punkte ich in meinem Intervall betrachte.

Ist ein wenig frustrierend meine komplette Antwort falsch zu sprechen mit einem Satz und dann einen Widerspruchsbeweis vorzuschlagen. Trotzdem werde ich es mit dem Widerspruchsbeweis versuchen.

Hast du einen Fehler gemacht?
"Nimm an, f sei an einer Stelle x0∈[a,b] von Null verschieden, d.h. f(x0)=0¯"
Müsste es nicht f(x0)≠0 sein oder ist das wieder ein Denkfehler von mir.
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michaL

michaL aktiv_icon

18:30 Uhr, 12.11.2017

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Hallo,

> Könntest du mir zumindest sagen, was an der Aussage "gewagt" sein soll?
> F(a)=F(b) und dabei sind a und b doch beliebig

Und genau da liegt er Irrtum.

Mfg Michael
anonymous

anonymous

18:46 Uhr, 12.11.2017

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Aber weiß ich nicht, dass f(x) größer gleich 0 ist im Intervall [a,b]. Also muss F(x) im Intervall als Stammfunktion monoton steigen.

Fall 1) f>0:
Daraus folgt, dass F(a)≠F(b), mit der Annahme dass a≠b.
Wir wissen F ist stetig, diffbar im dem Intervall und es gilt F(a)=F(b). Nach dem Satz von Rolle müsste es jetzt einen Punkt ε geben mit Fʹ(ε)=0=f(ε). Das steht im Widerspruch zu f>0.

Fall 2 wäre dann f=0...
anonymous

anonymous

19:02 Uhr, 12.11.2017

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Mein Beweis dazu wäre jetzt:

Nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung hat jede stetige Funktion f:[a,b]⇒ℝ eine Stammfunktion F, mit F′=f und ∫baf(t)dt=F(b)−F(a), heißt für meinen Fall:

∫baf(x)dx=F(b)−F(a)=0 (nach Voraussetzung)

Also: F(b)−F(a)=0⇔F(b)=F(a)

Nach Voraussetzung gilt f größer gleich 0.

Betrachte f größer 0:
Wir wissen F ist stetig, diffbar im dem Intervall und es gilt F(a)=F(b). Nach dem Satz von Rolle müsste es jetzt einen Punkt ε geben mit F′(ε)=0=f(ε). Das steht im Widerspruch zu f>0. Daraus würde auch folgen, dass F(a)≠F(b), mit der Annahme dass a≠b.

Also muss f gleich 0 sein!
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ledum

ledum aktiv_icon

19:16 Uhr, 12.11.2017

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Hallo
mit f(x)≥0 auf [a,b] und am Ende F(a)-F(b)=0 ist am Ende richtig F=0∈[a.b] aber aus F(a)=F(b) kannst du das nicht schliessen du hast ein festes a<b und nicht beliebige a,b.
richtig ist F(a)=F(b) und F stetig und differenzierbar. mit F'>0
ja und die Widerspruchsannahme ist f(x0)≠0
dein Beweis ist jetzt ok.
Gruß ledum
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

19:37 Uhr, 12.11.2017

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Danke dir ledum. Ja... das mit dem beliebig war vielleicht etwas viel :-D) ! Danke für das Durchlesen meiner Antwort und für die schnelle Antwort. Ich schließe mal die Frage.

Mfg Moe