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Integral ist größer und kleiner gleich

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Integration

Tags: Integration

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20:17 Uhr, 21.01.2010

Hallo,

wir sollen <?import namespace = m implementation = "#mathplayer" declareNamespace />

m (b - a)

und

M (b - a)

herausfinden:

m (b - a) \leq \int_{\frac{π}{12}}^{\frac{π}{9}} 7 \cdot tan (3 x) d x \leq M (b - a)

vermutlich:

m = f (a)

M = f (b)

oder?

für

m

habe ich dann raus:

m = \frac{7 \cdot π}{36}

m (b - a) = \frac{7 \cdot π}{36} \cdot (\frac{π}{9} - \frac{π}{12})

= 0,0533

aber das ist falsch...

wie komme ich auf das richtige ergebnis?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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22:09 Uhr, 21.01.2010

m

bedeutet das das infimum im intervall

[a; b]

also der kleinste funktionswert den die integrantenfunkion annimmt. Genauso bedeutet

M

den größten wert im intervall.

Also ist das integral zwischen zwei flächen von konstanten Funktionen eingeschlossen.

Ich vermute dass du hier nur die grenzen des Intervalls bestimmen musst und das Integral selbst nicht aussrechnen musst ;-) also musst du

m \cdot (b - a)

und

M \cdot (b - a)

berechnen.
Dies machst du am besten über integrieren um extrema zu finden und die randpunkte dann betrachtest, oder dir überlegst wie die integrantenfunktion im intervall verläuft.

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22:22 Uhr, 21.01.2010

dann müsste es doch stimmen, dass

<?import namespace = m implementation = "#mathplayer" declareNamespace />

m = f (a)

ist

das

m

an der stelle

f (a)

also am anfangsrand vom intervall ist.

M = f (b)

also am ende vom intervall.

achso...nein...das sind die...randpunkte.

f (a)

und

f (b)

sind die randpunkte vom intervall.

und zwischen diese suche ich die extrempunkte.
dafür steht die M´s oder? für minimum und Maximum?

also ableitung von dem integral. die punkte einsetzen und extrempunkte bestimmen....

einen moment.

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22:34 Uhr, 21.01.2010

dein eingefügtes wird bei mir leider nicht angezeigt.

Aber genau

M

und

m

steht für maximum und Minimum, eben die größten stellen und die kleinsten in dem Intervall^^

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22:42 Uhr, 21.01.2010

<?import namespace = m implementation = "#mathplayer" declareNamespace />

f (x) = 7 \cdot tan (3 x) d x

Ableitung:

f´(x)

= \frac{7}{{cos}^{2} (3 x)} \cdot 3

= \frac{21}{{cos}^{2} (3 x)}

stimmt das?

Extrempunkte berechnen:

f´(x)

= 0

\frac{21}{{cos}^{2} (3 x)} = 0

äh ja...nullstellen....

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22:57 Uhr, 21.01.2010

Ich denke die Ableitung stimmt.

für diese Funktion gibt es keine Extrempunkte, da die gleichung nie 0 werden kann.
Dh du musst dir den Verlauf des graphen betrachten ob er steigt oder fällt in diesem intervall. Dies kannst du ebenfalls mit der Ableitung machen ;-)
Du setzt zb, die untere grenze ein.. Da du über die Polstellen des tan sowiso nicht integrieren darfst gibt dir die Ableitung nun vor ob die funktion steigt oder fällt in diesem intervall.
Und dann setzt du die intervallgrenzen ein und schon hast du

m

und

M

;-)

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23:08 Uhr, 21.01.2010

untere Grenze in Ableitung einsetzen:

<?import namespace = m implementation = "#mathplayer" declareNamespace />

\frac{21}{{cos}^{2} (3 \cdot (\frac{π}{12}))}

= 42

0 =>"> 42 > 0 \Rightarrow

graph steigt

42

ist größer als

0,

also steigt sie im intervall.

d . h

\frac{π}{12}

war schon die untere grenze

m

Minimum und

\frac{π}{9}

war schon die obere grenze

M

Maximum.

also jetzt nur noch

\frac{π}{12}

und

\frac{π}{9}

in die normale

f (x)

einsetzen?

aber das ist genau das, was ich schon gemacht habe.........und wo ein falsches ergebnis rauskam. hm...kriege jetzt auch was anders raus:

m = 7

M = 12,124 ...

ich hoffe das stimmt jetzt.

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23:18 Uhr, 21.01.2010

ich bekommen raus:

f (\frac{π}{12}) = 7 = m

und

f (\frac{π}{9}) = \sqrt{147} = M

\to 7 \cdot (\frac{π}{9} - \frac{π}{12}) \leq

integral..

\leq \sqrt{147} \cdot (\frac{π}{9} - \frac{π}{12})

\to 0,61 \leq

integral..

\leq 1,058

waren dass die richtigen ergebnisse?
oder was sollte rauskommen?

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23:28 Uhr, 21.01.2010

ja, das <?import namespace = m implementation = "#mathplayer" declareNamespace />

m

und

M

habe ich auch so.

habe dann auch noch das

m (b - a)

und

M (b - a)

berechnet und kam auch dasselbe raus.

stimmt! :-)

danke für die hilfe!

bin froh, das ich jetzt weiß, was das

M

und

m

heißt.

713161

713013

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