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Integral mit Abrundefunktion / Identität

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Abrundefunktion, Integration, Zeta-Funktion

Julian93 aktiv_icon

13:00 Uhr, 08.05.2016

Hallo,

ich brüte seit gestern über dieser Aufgabenstellung:

(s

. Anhang)

Ich habe zunächst mit dem Tipp gearbeitet und mir anschließend überlegt, dass ich die Abrundefunktion vereinfachen kann, indem ich die Integrale über den entsprechenden Teilintervallen noch einmal unterteile - nämlich so, dass ich der Abrundefunktion einen festen Wert zuordnen, diesen anschließend als Konstante behandeln und dementsprechend aus dem Integral ziehen kann.

Ich weiß nicht, ob dies der richtige Weg ist, aber vielleicht könnt ihr das ja beurteilen. :-) Ich habe das Gefühl, irgendwie den richtigen Schritt zu verpassen und sinnlos rumzurechnen.

Da ich hier nicht das Zeichen für die Abrundefkt. finde, schreibe ich diese einfach als

f (x)

s \cdot \int_{1}^{N} \frac{f (x)}{x^{s + 1}} d x = s \cdot (\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x^{s + 1}} d x + . .

+ \int_{N - 1}^{N} \frac{f (x)}{x^{s + 1}} d x) = s \cdot \sum_{k = 1}^{N - 1} \int_{k}^{k + 1} \frac{f (x)}{x^{s + 1}} d x

Die Abrundefunktion

f (x)

kann nun in den entsprechenden Teilintervallen nur zwei Werte annehmen, nämlich entweder den Wert

k

(genau dann, wenn wir

x = k

betrachten) oder

k + 1

(genau dann, wenn

x > k,

denn dann ist

k

die kleinste ganze Zahl, die die Bedingung der Abrundefunktion erfüllt)

Ich stelle also weiter um und schreibe:

s \cdot \sum_{k = 1}^{N - 1} \int_{k}^{k + 1} \frac{f (x)}{x^{s + 1}} d x = s \cdot \sum_{k = 1}^{N - 1} \int_{k}^{k} \frac{f (x)}{x^{s + 1}} d x + lim_{a \to k} \int_{a}^{k + 1} \frac{f (x)}{x^{s + 1}} d x

= s \cdot \sum_{k = 1}^{N - 1} \int_{k}^{k} \frac{k}{x^{s + 1}} d x + lim_{a \to k} \int_{a}^{k + 1} \frac{k + 1}{x^{s + 1}} d x

Nun könnte ich die Werte der Abrundefunktion aus dem Integral ziehen, das Integral berechnen und so weiter. Habe ich auch schon versucht, aber so richtig zielführend erschien mir das nicht. Deswegen frage ich erst einmal bis hier hin: Sieht das okay aus? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Julian93 aktiv_icon

17:08 Uhr, 09.05.2016

Ich habe mittlerweile einen leicht veränderten Ansatz gewählt, der ohne Grenzwertbetrachtung auskommt, mich aber leider auch nur in sinnlose Rechnernei bringt.

: (

Wäre sehr dankbar, wenn da jemand mal einen Tipp abgeben könnte.

s \cdot \sum_{k = 1}^{N - 1} \int_{k}^{k + 1} \frac{f (x)}{x^{s + 1}} d x = s \cdot \sum_{k = 1}^{N - 1} \int_{k}^{k + 1} \frac{k + 1}{x^{s + 1}} d x - \int_{k}^{k} \frac{k + 1}{x^{s + 1}} d x + \int_{k}^{k} \frac{k}{x^{s + 1}} d x

Die Idee ist:

Zunächst berechne ich das Integral komplett von

k

nach

k + 1

mit

f (x) = k + 1

. Da ich aber für

x = k

eigentlich

f (x) = k

setzen müsste, ziehe ich den Wert des Integrals von

k

nach

k

mit

f (x) = k + 1

ab und summiere dann das Integral von

k

nach

k

mit

f (x) = k

auf. Damit erhalte ich eine Darstellung, mit der sich arbeiten lässt - leider laufen meine Rechenwege ins Leere. (ähnlich wie oben)

pwmeyer aktiv_icon

18:28 Uhr, 09.05.2016

Hallo
das Integral von

k

bis

k -

untere gleich obere Grenze - ist immer

0!

Du brauchst den Eckpunkt also nicht gesondert betrachten.
Grüße pwm

Julian93 aktiv_icon

20:28 Uhr, 09.05.2016

Danke, ab hier erhalte ich dann:

s \cdot (\sum_{k = 1}^{N - 1} \int_{k}^{k + 1} \frac{k + 1}{x^{s + 1}} d x) = s \cdot (\sum_{k = 1}^{N - 1} (k + 1) \int_{k}^{k + 1} \frac{1}{x^{s + 1}} d x) = s \cdot (\sum_{k = 1}^{N - 1} - \frac{k + 1}{s {(k + 1)}^{s}} + \frac{k + 1}{s k^{s}}) =

(\sum_{k = 1}^{N - 1} - \frac{k + 1}{{(k + 1)}^{s}} + \frac{k + 1}{k^{s}})

Nun weiß ich nicht weiter - irgendetwas kürzt sich immer unpassend weg.

pwmeyer aktiv_icon

17:39 Uhr, 10.05.2016

Hallo,

die Abrundungsfunktion liefert auf dem Intervall

[k, k + 1 [

den Wert

k

und nicht

k + 1

.

Wenn Du das berücksichtigt hast, enthält das Ergebnis die angegeben Summe auf der rechten Seite und eine Teleskopsumme.

Gruß pwm

Julian93 aktiv_icon

11:56 Uhr, 11.05.2016

Hallo,

du meinst, ich solle diese Darstellung wählen?

s \cdot (\sum_{k = 1}^{N - 1} \int_{k}^{k + 1} \frac{k}{x^{s + 1}} d x)

Hiermit komme ich auch nicht zu einer gewünschten Darstellung. Wenn ich den Faktor

k

aus dem Integral ziehe und den Rest integriere, dann gelange ich zu:

s \cdot (\sum_{k = 1}^{N - 1} - \frac{k}{(s \cdot {(k + 1)}^{s})} + \frac{k}{s \cdot k^{s}})

Ich erhalte also noch nicht einmal rechts die gewünschte Darstellung, da ich durch Weggkürzen

\frac{1}{s \cdot k^{s - 1}}

erhalten würde.

: (

pwmeyer aktiv_icon

14:13 Uhr, 11.05.2016

Hallo,

im ersten Summanden schreibst Du

k = (k + 1) - 1,

trennst die Summe entsprechend auf. Dann hast Du unter der Summe 3 Summanden; der erste und dritte bilden eine Teleskopsumme.

Gruß pwm

Julian93 aktiv_icon

15:23 Uhr, 11.05.2016

Mit deinem Verfahren gelange ich zu

1 - \frac{N + 1}{{(N + 1)}^{s}}

als Wert der Teleskopsumme, also irgendetwas passt noch nicht.

: (

pwmeyer aktiv_icon

19:37 Uhr, 11.05.2016

Hallo,

ich sehe das so:

\sum_{k = 1}^{N - 1} [\frac{k}{k^{s}} - \frac{k}{{(k + 1)}^{s}}] = \sum_{k = 1}^{N - 1} [\frac{k}{k^{s}} - \frac{k + 1 - 1}{{(k + 1)}^{s}}] =

\sum_{k = 1}^{N - 1} \frac{k}{k^{s}} - \sum_{k = 1}^{N - 1} \frac{k + 1}{{(k + 1)}^{s}} + \sum_{k = 1}^{N - 1} \frac{1}{{(k + 1)}^{s}} =

1 - \frac{N}{N^{s}} + \sum_{k = 2}^{N} \frac{1}{{(k)}^{s}} = \frac{1}{N^{s}} - \frac{N}{N^{s}} + \sum_{k = 1}^{N - 1} \frac{1}{{(k)}^{s}}

Gruß pwm

Julian93 aktiv_icon

19:48 Uhr, 11.05.2016

Hach, danke, mehrere Tage dran gesessen, aber nicht zu Ende geschafft.

: (

Der Kram muss aber auch morgen abgegeben werden, deswegen danke für's Vervollständigen!

Julian93 aktiv_icon

19:49 Uhr, 11.05.2016

. .

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