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Integral mit Phönix-Methode berechnen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Phönix-Methode

Tantrum aktiv_icon

18:52 Uhr, 11.03.2012

Hallo. Ich muss folgendes Integral mit der Phönix-Methode berechnen:

\int e^{x} \cdot cos (x) d x

Ich habe

e^{x} = u'

und

cos (x) = v

gesetzt und dann die partielle Integration angewandt.

\int e^{x} \cdot cos (x) d x = e^{x} \cdot cos (x) - \int e^{x} \cdot (- sin (x)) d x

Hier müsste ich jetzt wieder partiell integrieren, weil ich ja auf der rechten Seite wieder das Ausgangsintegral haben möchte.

\int e^{x} \cdot cos (x) d x = e^{x} \cdot cos (x) - \int e^{x} \cdot cos (x) d x

Jetzt auf die andere Seite und dann durch 2.

\int e^{x} \cdot cos (x) d x = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} \cdot cos (x)) + C

Doch als Lösung habe ich stehen:

\int e^{x} \cdot cos (x) d x = \frac{1}{2} \cdot e^{x} (sin (x) \cdot cos (x)) + C

Wo kommt das

sin (x)

am Ende her? Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Edit: Mir ist aufgefallen, dass dieses Verfahren nicht einheitlich als "Phönix-Methode" bekannt ist. Aber ich hoffe das Prinzip wurde verstanden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Shipwater aktiv_icon

19:05 Uhr, 11.03.2012

\int e^{x} cos (x) d x = e^{x} cos (x) + \int e^{x} sin (x) d x = e^{x} cos (x) + e^{x} sin (x) - \int e^{x} cos (x) d x \Leftrightarrow \int e^{x} cos (x) d x = \frac{1}{2} e^{x} (sin (x) + cos (x)) + C

Du hast bei der zweiten partiellen Integration irgendwie den vorderen Teil vergessen.

Tantrum aktiv_icon

19:14 Uhr, 11.03.2012

Ach stimmt. Vielen Dank!

Shipwater aktiv_icon

19:59 Uhr, 11.03.2012

Keine Ursache.

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