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Integral mit Residuensatz berechnen

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Funktionentheorie

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Tags: Funktionentheorie, Integration

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MATHEBREMEN

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11:03 Uhr, 17.01.2017

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Hallo,

wie ist das bei Wegintegralen, die mit Residuen gelöst werden sollen und deren Weg ein Kreis mit variablen Radius ist? Die Polstellen der Funktion sind bei bestimmten Radien entweder enthalten oder nicht.
Muss man dann (wie folgt) eine Fallunterscheidung machen?

Beispielaufgabe:

\int_{∣ z ∣ = r} \frac{1}{z^{2} - 7 z + 12} d z; r > 0; r \neq 3; 4

Polstellen:

z_{1} = 3; z_{2} = 4

Fall 1 wenn r>4

\int_{∣ z ∣ = r} \frac{1}{z^{2} - 7 z + 12} d z = 2 π i (lim_{z_{1} \to 3} (z - 3) \frac{1}{(z - 3) (z - 4)} + lim_{z_{2} \to 4} (z - 3) \frac{1}{(z - 3) (z - 4)}) = 2 π i (- 1 + 1) = 0

Fall 2 wenn 3<r<4

\int_{∣ z ∣ = r} \frac{1}{z^{2} - 7 z + 12} d z = 2 π i (lim_{z_{1} \to 3} (z - 3) \frac{1}{(z - 3) (z - 4)}) = 2 π i (lim_{z_{1} \to 3} \frac{1}{(z - 4)}) = - 2 π i

Fall 3 wenn 0<r<3

\int_{∣ z ∣ = r} \frac{1}{z^{2} - 7 z + 12} d z = 0

Danke im Vorraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:12 Uhr, 17.01.2017

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"Muss man dann (wie folgt) eine Fallunterscheidung machen?"

Ja.

MATHEBREMEN

MATHEBREMEN aktiv_icon

11:15 Uhr, 17.01.2017

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Macht es denn mathematisch Sinn, dass bei Fall 1 die Lösung null ist und sich beide Residuen genau eliminieren?

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:21 Uhr, 17.01.2017

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Ein Integral darf doch auch mal

0

sein ohne einen besonderen Grund. :-)

Frage beantwortet

MATHEBREMEN

MATHEBREMEN aktiv_icon

11:35 Uhr, 17.01.2017

Antworten

Ok. Vielen Danke.

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