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Integral mit Taylorreihe

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

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18:53 Uhr, 27.12.2012

Hallo,

ich habe eine Verständnisfrage:
Ich soll das das Integral von folgender Funktion berechnen

\int_{0}^{1} \frac{sin x}{x}

. Zur Berechnung soll ich eine Taylorreihe benutzen.
Ich kenne bereits die Taylorreihe einer Sinusfunktion. Jetzt habe ich in einem anderen Forum gelesen, dass ich nur diese "Sinusreihe" benutzen kann und dann

\frac{1}{x}

multipliziere:

\int_{0}^{1} \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{(2 n + 1)!} \cdot x^{2 n + 1}}{x}

Dabei verstehe ich jedoch nicht, warum ich hier aus dem

x

nicht auch eine Taylorreihe bilden muss??
Und warum muss man das nicht mit integrieren??

Vielen Dank

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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20:03 Uhr, 27.12.2012

Hallo
Also im Normalfall geht das natürlich nicht so.
Jedoch ist das in deinem Fall ne Gute Näherung. Erklärung:
Also die Taylorreihe entwickelt man ja immer um einen Punkt, der in deinem Fall x=0 ist.
Wenn du dir mal den Sinus anguckst von 0 bis 1 siehst du das diese Taylorentwicklung des Sinus nicht nur exact am Punkt 0 übereinstimmt (das gilt natürlich immer), sondern auch näherungsweise von 0 bis 1.
Aus diesem Grund kannst du hier den sin(x) einfach ersetzen durch die Taylorreihe des Sinus. Das hat nix mit dem x zu tun, deshalb bleibt das auch einfach stehen.
dieses

\frac{1}{x}

musst du jetzt natürlich mitintegrieren.

So hätt ich mir das zumindest gedacht : ) Kritik, immer her damit

Gruß

anonymous

20:54 Uhr, 27.12.2012

Natürlich kann man auch aus

\frac{sin (x)}{x}

eine Taylorreihe machen ( eher aufwändig ).
das würde ergeben:

\frac{sin (x)}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + . .

. ( lt. Wolfram )
zum gleichen Ergebnis komme ich über

sin (x)

sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + . .

\frac{1}{x} \cdot sin (x) = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + . .

.
Die Approximation ist sehr groß ( bei 3 Gliedern ist der Unterschied für

x = 1

1,9568185877016001416434503636667 e - 4)

Die Integration erfolgt gliedweise
siehe Grafik

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10:09 Uhr, 28.12.2012

Vielen Dank für eure Antworten!
Leider ist mir immer noch nicht ganz klar geworden warum

\frac{1}{x}

nicht als Taylorreihe ausgedrückt werden muss?
Ich habe es dann auch einfach so gemacht und integriert und das richtige rausbekommen. Allerdings weiß ich nicht woher die "Berechtigung" zu diesem Schritt kommt, wenn ich das Ergebnis vorher nicht kennen würde.

anonymous

10:13 Uhr, 28.12.2012

Ich habe Probleme mit dem Terminus "

\frac{1}{x}

durch Tylorreihe ausdrücken".
Was genau meinst du damit?

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10:31 Uhr, 28.12.2012

Damit meine ich, dass ich aus

\frac{1}{x}

eine Taylorreihe mache:

Ich bilde also die Ableitungen

f' (x), f'' (x) ... f^{n} (x)

. Danach kann ich ja ein Taylorpolynom der Form:

x_{0} = 0

Arbeitspunkt

f (x) = f (x_{0}) + f' (x_{0}) \cdot x + \frac{f'' (x_{0})}{2!} x^{2} + ... + \frac{f^{n} (x_{0})}{n!} \cdot x^{n}

Aus dem Polynom kann ich dann ja eine Reihe ableiten der Form:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{n} (x_{0})}{n!} \cdot {(x - x_{0})}^{n}

So habe ich gelernt eine Taylorreihe für eine Funktion zu entwickeln.

All diese Schritte werden hier aber nicht gemacht, sondern das

\frac{1}{x}

wird überhaupt nicht zu einer Taylorreihe "entwickelt. Und da frage ich mich wieso nicht???

anonymous

10:35 Uhr, 28.12.2012

Bei

\frac{1}{x}

würde das ja nicht funktionieren.

x_{0} = 0

f (0)

nicht definiert

f' (0)

nicht definiert
usw.

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10:38 Uhr, 28.12.2012

Ok, das ist mein Fehler!!

Ich könnte als Entwicklungspunkt aber auch

x_{0} = 1

nehmen und daraus die Reihe entwickeln.

anonymous

10:41 Uhr, 28.12.2012

Ich sehe die Sache so:

sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9}}{9!} - . .

\frac{1}{x} \cdot sin (x) = \frac{1}{x} \cdot (x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \frac{x^{9}}{9!} - ...)

\frac{1}{x} \cdot sin (x) = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - \frac{x^{6}}{7!} + \frac{x^{8}}{9!} - . .

.
Die rechte Seite gliedweise integrieren, ist natürlich nur eine Approximation, aber eine sehr gute.

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10:45 Uhr, 28.12.2012

Du hast ja auch recht mit der Behauptung. Es stimmt ja auch! Nur das Wieso finde ich nicht so einfach.

Vielleicht ein anderes Beispiel:
Wie würdest du es bei ein Funktion der Form:

\frac{sin (x)}{1 - 3 x}

machen?

anonymous

10:56 Uhr, 28.12.2012

Es hängt davon ab, was mit diesem Term geschehen soll.

z . B

\frac{1}{1 - 3 \cdot x} = 1 + 3 x + 9 x^{2} + 27 x^{3} + 81 x^{4} + 243 x^{5} . .

\frac{sin (x)}{1 - 3 \cdot x} = sin (x) \cdot (1 + 3 x + 9 x^{2} + 27 x^{3} + 81 x^{4} + 243 x^{5} ...) =

= sin (x) + 3 \cdot x \cdot sin (x) + 9 \cdot x^{2} \cdot sin (x) + . .

.
Die einzelnen Integrale lassen sich mit partielle Integration behandeln.

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11:01 Uhr, 28.12.2012

Ich hatte diese Aufgabe, jedoch sollte ich nur die Taylorreihe von

\frac{sin (x)}{1 - 3 x}

entwickeln!
Ich habe das dann eben versucht, indem ich beide Terme als Taylorreihe dargestellt habe.
Hat mich aber auch nicht wirklich weitergebracht!

anonymous

11:06 Uhr, 28.12.2012

Diese Taylorreihe geht bis zum 3. Elelemnt noch menschlich, dann wirds wegen der komplizierten Ableitungen mühsam, aber machbar.
Hier ist der Wert

\frac{1}{3}

der Haken.
Bei der Entwicklung um 0 sieht das etwa so aus:

\frac{sin (x)}{1 - 3 \cdot x} = x + 3 x^{2} + \frac{53 x^{3}}{6} + \frac{53 x^{4}}{2} + \frac{9541 x^{5}}{120} + \frac{9541 x^{6}}{40} + . .

anonymous

11:15 Uhr, 28.12.2012

\frac{1}{1 - 3 \cdot x} = 1 + 3 x + 9 x^{2} + 27 x^{3} + 81 x^{4} + 243 x^{5} . .

sin (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + . .

\frac{sin (x)}{1 - 3 \cdot x} = (1 + 3 x + 9 x^{2} + 27 x^{3} + 81 x^{4} + 243 x^{5} ...) \cdot (x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + ...) = . .

.
Ausmultiplizieren und nach Potenzen ordnen ( das wäre allerdings nur erlaubt, wenn die Reihen absolut konvergieren )
siehe
http//de.wikipedia.org/wiki/Reihe_%28Mathematik%29#Produkte

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11:38 Uhr, 28.12.2012

Ich danke dir für die guten Ausführungen!

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