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Integral mit e^x und e^-x im Nenner

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Claudia-88 aktiv_icon

18:53 Uhr, 29.06.2010

Hallo,

ich habe ein großes Problem beim Integrieren des Integrals (siehe Anhang).
Irgendwie weiß ich nicht (selbst mit dem Tipp zu substituieren), wie ich das zusammenfassen sollte.
Sprich, ich weiß nicht einmal so genau, WO eigentlich anfagen.

Hoffe daher, dass mir jemand vielleicht die ersten zwei, drei Schritte vorgeben könnte!

Liebe Grüße, Claudia

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

MBler07 aktiv_icon

19:48 Uhr, 29.06.2010

Nochmal Hallo

Nutz die Substitution

u = e^{x}

. Dann noch etwas umformen und in die Ableitungs-/Integraltabelle gucken.

Grüße

Claudia-88 aktiv_icon

19:50 Uhr, 29.06.2010

Hallo,

dann habe ich doch aber nur 1/u+e^-x oder wie bekomme ich das andere e weg?

MBler07 aktiv_icon

19:53 Uhr, 29.06.2010

Hast du die Substitution komplett ausgeführt? Also auch das

d x

ersetzt? Dann steht da nämlich was anderes.

Claudia-88 aktiv_icon

19:55 Uhr, 29.06.2010

Wenn u=e^x, dann macht man doch du/dx=(e^x)'=e^x
Damit dx=1/e * du ?

MBler07 aktiv_icon

19:57 Uhr, 29.06.2010

Genau.

advokata aktiv_icon

20:00 Uhr, 29.06.2010

\int \frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x = \int \frac{1}{e^{x} + \frac{1}{e^{x}}} d x = \int \frac{1}{\frac{e^{2 x} + 1}{e^{x}}} d x = \int \frac{e^{x}}{e^{2 x} + 1} d x

Substituieren:

u = e^{x} \Rightarrow d u = e^{x} d x

\int \frac{1}{u^{2} + 1} d u = a r c t a n (u) + C = a r c t a n (e^{x}) + C

Claudia-88 aktiv_icon

20:03 Uhr, 29.06.2010

Warum kann aus e^2x so einfach u^2 werden (also dass da "2x" steht ist unerheblich)?!

Grüße, Claudia

advokata aktiv_icon

20:04 Uhr, 29.06.2010

2 x

ist das Doppelte von

x,

also folgt daraus dass bei der Substitution für

u = e^{x}

nur

u^{2}

bleibt.

MBler07 aktiv_icon

20:05 Uhr, 29.06.2010

Mach einfach mit deinem Weg weiter. Also das

d x

durch

\frac{1}{e^{x}} \cdot d u

ersetzen. Dann wirst du (vermutlich) selbst drauf kommen.

Claudia-88 aktiv_icon

21:58 Uhr, 29.06.2010

Hallo,

ja, du hast Recht, damit komme ich auch weiter.

1/e^x+1/e^x * 1/e^x du
-> ersetze dann alle e^x durch u
= 1/u+1/u * 1/u
= zusammenfassen
= 1/u(u+1/u) = 1/u^2+u :-D)
Und dann mit dem arcTan oder?

MBler07 aktiv_icon

22:59 Uhr, 29.06.2010

Jupp. Auch hier weider alles richtig. Inkl. der Anwendung des Atan.
Nur am Ende ist ein kleiner Fehler. Aber das wird wahrscheinlich nur falsch abgeschrieben sein. Es heißt

\frac{1}{u^{2} + 1}

und nicht

\frac{1}{u^{2} + u}

wie bei dir.

Claudia-88 aktiv_icon

23:02 Uhr, 29.06.2010

Dankeschön :-D)
(Und da hattest du Recht, hab es da falsch abgeschrieben)

Gute Nacht!

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