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Integral mittels Partialbruchzerlegung bestimmen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Partialbruchzerlegung

dragonmaster1 aktiv_icon

16:01 Uhr, 29.12.2014

Hallo allerseits, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Benutzen Sie die Partialbruchzerlegung, um folgendes Integral zu bestimmen:

I

= \int \frac{2 x^{2} + 9 x + 12}{x^{2} + 6 x + 10} d x

Durch Polynomdivision konnte ich so umformen:

I

= \int 2 d x + \int \frac{- 3 x - 8}{x^{2} + 6 x + 10} d x

Jetzt komme ich nicht mehr weiter, da ich nicht weiß, wie ich die Partialbruchzerlegung durchführen soll. Das Prinzip ist mir bewusst, allerdings sind hier ja die Nullstellen des Nennerpolynoms komplex, und auch das Weiterrechnen mit den komplexen Nullstellen hat mich nicht weitergebracht...

Vielen Dank für eure Antworten schon im Voraus!

dragonmaster1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

16:12 Uhr, 29.12.2014

Hallo,

folgendes geht (ich schreibe

N

für den Nenner):

\frac{- 3 \cdot x - 8}{N} = (- \frac{3}{2}) \cdot \frac{2 \cdot x + 6}{N} + \frac{1}{N}

Der erste Bruch hat die Stammfunktion

ln (N)

. Beim zweite machst Du binomische Ergänzung und dann die Substitution

s = x + 3 .

.

Gruß pwm

dragonmaster1 aktiv_icon

12:02 Uhr, 30.12.2014

Vielen Dank für deine Antwort, aber ist das Integral jetzt durch Partialbruchzerlegung gelöst? Normalerweise zerlegt man ja in Brüche mit Nullstellen im Nenner, oder ist das "quasi" schon geschehen, weil der Term selbst schon die Form

\frac{b + c \cdot x}{{(x^{2} + p \cdot x + q)}^{j}}

hat (diese Darstellungsform wird doch bei komplexen Nullstellen verwendet, richtig?)

Gruß

dragonmaster1

pwmeyer aktiv_icon

19:58 Uhr, 30.12.2014

Ja, nach der Polynomdivision ist schon der Endzustand der Partialbruchzerlegung erreicht.

Gruß pwm

dragonmaster1 aktiv_icon

13:03 Uhr, 31.12.2014

Okay, vielen Dank für deine Hilfe!

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