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Integral näherungsweise mit einer Reihenentw

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Reihenentwicklung

etechnik aktiv_icon

22:36 Uhr, 23.01.2011

Hi,

setzte mich mit der berechnung von Integralen mit Hilfe einer Reihenentwicklung auseinander, nur hab ich nichts gefunden was mir irgendwie dazu einen Ansatz gibt.
Im Papula hab ich nichts gefunden, heißt das Thema dort irgendwie anders?( vllt Potenzreihenentwicklung)

Hier die Aufgabe:

Berechnen Sie

\int_{0}^{1} e^{- x^{3}} d x

mit Hilfe einer Reihenentwicklung, Fehler

\leq 0,005

und Anzahl

n

der Summanden möglichst klein.

Hinweis:

e^{t} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (\frac{t^{k}}{k!}) + R_{n} (t),

wobei

| R_{n} (t) | \leq \frac{{| t |}^{n}}{n!}

falls

t < 0; \frac{n | 3 | 4 | 5}{n! (3 n + 1) | 60 | 312 | 1920}

wie fängt man an um das hinzubekommen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Alx123 aktiv_icon

22:52 Uhr, 23.01.2011

Hallo,
im ersten Band von Papula findest du ein sehr ähnliches Beispiel:

VI Potenzreihenentwicklung
3 Taylor-Reihen
3.3.2.

etechnik aktiv_icon

22:57 Uhr, 23.01.2011

Ok, hab mir die Reihenentwicklung im Papula durchgeguckt aber ehrlich gesagt doch noch nicht verstanden.

\int_{0}^{1} e^{- x^{3}} d x

die Mac Laurinsche Reihe für

e^{- x}

ist:

1 + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + - . .

= \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} (\frac{x^{n}}{n!})

ist dann die Mac laurinsche Reihe für

e^{- x^{3}} :

- \frac{x^{3}}{- 3!} - \frac{x^{2}}{- 2!} - \frac{x^{1}}{1!} + 1 + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} .

.

brauche bei diesem Thema doch noch viel hilfe so das ich überhaupt was damit anfangen kann, wie wird dann der fehler

0 \leq 0,005

einbezogen oder besser gesagt bestimmt und was ist mit dem Hinweis

e^{t} ... .

Alx123 aktiv_icon

15:50 Uhr, 25.01.2011

Du hast ja schon eine endliche Potenzreihendarstellung der e-Funktion + Restglied, dort setzt du einfach

- x^{3}

für

t

ein. Es gilt dann also:

e^{- x^{3}} = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(- x)^{3 k}}{k!} + R_{n} (- x^{3})

und für das Restglied gilt dann weiter?

etechnik aktiv_icon

16:59 Uhr, 25.01.2011

Jetzt muss ich die werte aus der Tabelle verarbeiten oder?

Alx123 aktiv_icon

17:55 Uhr, 25.01.2011

Was für eine Tabelle?
Du sollst ja hier das bestimmte Integral berechnen, doch die Funktion:

f (x) = e^{- x^{3}}

lässt sich nicht integrieren, du kannst also nicht einfach die Stammfunktion bestimmen. Man kann aber diese Funktion nach Taylor in eine ( erst ) endliche Potenzreihe entwickeln. Doch wenn die Taylorreihe endlich ist, wird durch sie die Funktion nicht exakt dargestellt., deshalb gibt es das Restglied, mit diesem lässt sich die Funktion exakt darstellen, das ist ja dein Hinweis. Das Restglied ist also die Differenz ( Abweichungsfehler ) zwischen der Funktion und der Taylorreihe und dieser Abweichungsfehler soll kleiner sein als:

0, 005

. Im Hinweis steht weiter wie man das Restglied selbst nach oben abschätzen kann. Es gilt also:

∣ R_{n} (x^{- 3}) ∣ \leq \frac{∣ - x^{3} ∣^{n}}{n!} = \frac{∣ x^{3} ∣^{n}}{n!} = \frac{x^{3 n}}{n!} \leq 0, 005

wegen der Integrationsgrenzen gilt für

x

0 \leq x \leq 1

jetzt stellt sich die Frage, für welches

n

gilt die Ungleichung:

\frac{x^{3 n}}{n!} \leq 0, 005

etechnik aktiv_icon

22:52 Uhr, 26.01.2011

Hab mir das ergebniss jetzt erarbeitet, da ich keine kontrolle hab ob ich es auf dem richtigen weg gelöst hab stelle ich es mal vor.

Gegeben:

\int_{0}^{1} e^{- x^{3}} d x

e^{t} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (\frac{t^{k}}{k!}) + R_{n} (t)

| R_{n} (t) | \leq \frac{{| T |}^{n}}{n!} f a l l s (t < 0)

Meine Lösung:

\int_{0}^{1} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{{(- x^{3})}^{k}}{k!} d x + \int_{0}^{1} \frac{{(x^{3})}^{n}}{n!} d x

Da sich der Fehler aus

R_{n} (t)

ergibt wird das zweite Integral integriert:

\int_{0}^{1} \frac{{(x^{3})}^{n}}{n!} d x = \frac{1}{n!} \int_{0}^{1} {(x^{3})}^{n} d x = \frac{1}{n!} \frac{1}{3 n + 1} x^{3 n + 1} |_{0}^{1}

Das sieht doch aus wie aus der |Tabelle| und wir entnehmen für

n

den Wert 4: da

\frac{1}{312} < 0,005

und dammit kleiner als der gesucht fehler

jetzt die Grenzen einsetzen:

(\frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 + 1} \cdot 1^{3 \cdot 3 + 1}) - (\frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{3 \cdot 3 + 1} \cdot 0^{3 \cdot 3 + 1}) = \frac{1}{312} - 0 = \frac{1}{312}

Jetzt bilden wir die Summenreihe mit

n = 4 :

\sum_{k = 0}^{4 - 1} (- \frac{x^{3 \cdot 0}}{0!}) + (- \frac{x^{3 \cdot 1}}{1!}) + (- \frac{x^{3 \cdot 2}}{2!}) + (- \frac{x^{3 \cdot 3}}{3!})

daraus das Integral welches wir direkt integrieren:

\int_{0}^{1} - 1 + (- \frac{x^{3}}{1!}) + (- \frac{x^{6}}{2!}) + (- \frac{x^{9}}{3!}) d x = - x - \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{7}}{14} - \frac{x^{10}}{60} |_{0}^{1}

Und dann hat die Qual auch ein ENDE

Alx123 aktiv_icon

20:47 Uhr, 27.01.2011

Ob dein Rechenweg richtig ist oder nicht hängt davon ab wie man die Aufgabenstellung versteht, du beziehst den Fehler direkt auf das Integral, also:

\int_{0}^{1} f (x) d x - \int_{0}^{1} \sum a (x) d x < 0, 005

\overset{}{\Leftrightarrow} \int_{0}^{1} f (x) - \sum a (x) d x < 0, 005

\overset{}{\Leftrightarrow} \int_{0}^{1} R_{n} (x) d x < 0, 005

ich habe es auf die Reihenentwicklung bezogen:

f (x) - \sum a (x) < 0, 005

\overset{}{\Leftrightarrow} R_{n} (x) < 0, 005

ich finde die Aufgabenstellung nicht eindeutig, schaut aber ansonsten gut aus.

etechnik aktiv_icon

21:46 Uhr, 27.01.2011

Wieder einmal danke Alx123,

das Thema hatte ich in der Vorlesung leider verpennt, gut das ich es mir jetzt in Kopf gehämmert habe. Das Forum ist einfach Genial, regt mich selber zum lernen an.

Fertig und Frage beantwortet.

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