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Integral über Zylinder berechnen in IR 3

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Integration

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Tobi311

Tobi311 aktiv_icon

18:05 Uhr, 28.11.2016

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Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe die ich nicht ganz versteht, bzw. wie ich da rangeh.

Ich soll folgendes berechnen:

\int_{Z} (x + y + z)

dV mit

Z := {(x, y, z) \in R^{3} | x^{2} + y^{2} \leq 1, - 2 \leq z \leq 2}

Z

ist also ein Zylinder mit Grundfläche auf der

x, y

Ebene und geht auf der z-Achse von

- 2

bis 2.

Nach Cavaleri/Fubini ist dass doch gleich

Z = {(x, y) \in R^{2} | x^{2} + y^{2} \leq 1} X [- 2,2]

und somit

\int_{Z} (x + y + z)

dV

= \int_{- 2}^{2} d z \int_{Z'} (x + y + z) d (x, y)

oder ?

Wie mach ich weiter ?

Gruß Tobi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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ledum

ledum aktiv_icon

22:14 Uhr, 28.11.2016

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Hallo
Zylinder rufen nach Zylinderkoordinaten,
aber auch kartesisch hast du ja

z . B x^{2} < 1 - y^{2}

und dann

y

von 0 bis 1
Gruß ledum

Tobi311

Tobi311 aktiv_icon

22:37 Uhr, 28.11.2016

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Also so ?!

\int_{- 2}^{2} d z \int_{- 1}^{1} d y \sqrt{1 - y^{2}} = ... = 2 π

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ledum

ledum aktiv_icon

22:47 Uhr, 28.11.2016

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Hallo
hast du das

(x + y + z)

das du integrieren willst vergessen? du scheinst einfach das Volumen des Zylinders auszurechnen, das ist aber

4 \cdot π

Gruß ledum

Tobi311

Tobi311 aktiv_icon

22:59 Uhr, 28.11.2016

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Ja Stimmt, wo füg ich

(x + y + z)

ein ?
So etwa

\int_{- 2}^{2} d z \int_{1}^{0} d y \sqrt{1 - y^{2}} + (x + y + z)

??
Verstehs leider nicht ganz

: (

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ledum

ledum aktiv_icon

23:04 Uhr, 28.11.2016

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Hallo
das ist sehr falsch, weiter oben hattest du das richtige Integral mit d(xy) statt

d x d y

da sie nach und lass das Integral über

x

noch stehen, also ein Dreifachintegral!
Gruß ledum

Tobi311

Tobi311 aktiv_icon

23:26 Uhr, 28.11.2016

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Versteh nicht ganz was du meinst.

\int_{- 2}^{2} d z \int_{Z'} (x + y + z) d x d z

hab ich ja oben.

Daraus dann

\int_{- 2}^{2} d z \int_{0}^{1} d y \sqrt{1 - y^{2}} \int_{a}^{b} d x (x + y + z)

hab leider wieder das Gefühl, dass das nicht so ganz stimmt. Die Integralgrenzen

a, b

kenn ich leider auch nicht.

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ledum

ledum aktiv_icon

11:51 Uhr, 29.11.2016

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Hallo
wo kommt jetzt wieder die sort(1-y^2) her, die hattest du mal als du die

(x + y + z)

noch nicht in dem Integral stand durch integrieren bekommen,
du hast doch

x^{2} + y^{2} \leq 1

daraus die Grenzen für

x,

wenn du das als innerstes Integral nimmst, dann erst über

y

integrieren, dann nach

z

Gruß ledum

Tobi311

Tobi311 aktiv_icon

14:03 Uhr, 29.11.2016

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x^{2} + y^{2} \leq 1 \Rightarrow x \in [0,1]

aus

x = \sqrt{1 - y^{2}}

Also

\int_{- 2}^{2} d z \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{1} d x (x + y + z)

??

Antwort

ledum

ledum aktiv_icon

18:50 Uhr, 30.11.2016

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Hallo
irgendwie rätst du nur rum! du hattest doch schon die Grenzen wenn du anfangs über

x

integrierst
also

\int_{- 2}^{2} (\int_{0}^{1} (\int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} (x + y + z) d x) d y) d z

wenn du was hinschreibst, musst du das doch auch vor dir selbst begründen,
Gruß ledum

Frage beantwortet

Tobi311

Tobi311 aktiv_icon

21:06 Uhr, 01.12.2016

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Vielen dank für deine Hilfe, habs jetzt glaub geblickt.

MfG Tobi

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