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Integral vom 1/1-x^2

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Luna- aktiv_icon

09:44 Uhr, 16.07.2018

Hallo ,
Ich würde gerne wissen ob ich folgendes richtig verstanden habe :
Integral

\frac{d x}{1} - x^{2} =

artanh

(x)

. Artanh

(x) = \frac{1}{2} \cdot ln (\frac{1 + x}{1 - x})

. artanh

x

ist nur für x-werte deren betrag kleiner ist als 1 definiert.es geht darum dass der nenner nicht 0 sein darf und dass nur der

ln

von positiven Zahlen definiert ist . anderfalls ist der integralwert arcoth

(x)

. Arcoth (x)

= \frac{1}{2} \cdot ln (\frac{x + 1}{x - 1})

. diees ist für

x

werte deren betrag Größer ist als 1 definiert .
Bei der Herleitung : ich habe nachgerechne : setze ich für

x tanh u

ein lautet das ergebnis des Integrals artanh

x;

setze ich für

x =

arcoth

x

ein , erhalte ich als ergebnis arcoth

x

.
Also wird es so DEFINIERT dass für

| x | < 1 :

artanh

x

gilt

u

. Für

| x | > 1

arcoth

x

?
Danke im voraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

10:16 Uhr, 16.07.2018

Hallo,

deine Fragen werden in
de.wikipedia.org/wiki/Areatangens_hyperbolicus_und_Areakotangens_hyperbolicus
beantwortet.

Mfg Michael

Roman-22

11:52 Uhr, 16.07.2018

Die Herleitung deines Integrals wird in MichaLs Link leider nicht gezeigt.
Grundsätzlich hast du einiges Richtiges geschrieben. Allerdings ist es keine willkürliche Definition, dass das Integral in einem Bereich

a r t a n h

ist und im anderen der

a r c o t h

sein möge.
Was Definition ist, sind die Namen der Funktionen

a r t a n h

und

a r c o t h

und deren Funktionsterme.
Man definiert also, dass man die Funktion

y = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 - x}),

welche im Reellen nur für

| x | < 1

definiert ist,

a r t a n h (x)

nennen möchte.

Die Herleitung des Integrals erfolgt zweckmäßigerweise durch Partialbruchzerlegung und führt zunächst wegen

\int \frac{1}{x} d x = ln (| x |) + C

auf eine Ausdruck in Logarithmen

\int \frac{1}{1 - x^{2}} d x = \int [\frac{1}{2} (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1})] d x = \frac{1}{2} \cdot (ln (| x + 1 |) - ln (| x - 1 |)) + C = \frac{1}{2} \cdot ln (| \frac{x + 1}{x - 1} |) + C

Diese Funktion deckt den ganzen Bereich

x \in ℝ \ {\pm 1}

ab.

Jetzt kann man eine Fallunterscheidung machen:

1) \frac{x + 1}{x - 1} > 0 \Rightarrow | x | < 1

Da können wir die Betragsstriche weglassen und das Integral wird zu

\frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{x - 1}) + C = \frac{1}{2} a r c o t h (x) + C,

denn diesen Namen haben wir dieser Funktion per definitionem gegeben.

2) \frac{x + 1}{x - 1} < 0 \Rightarrow | x | > 1

Jetzt wird das Integral wird zu

\frac{1}{2} ln (- \frac{x + 1}{x - 1}) + C = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 - x}) + C = \frac{1}{2} a r t a n h (x) + C

.

Wenn du das Integral durch die von dir erwähnten Substitutionen löst, dann führst du bereits an dieser Stelle der Rechnung eine Fallunterscheidung durch.
Wenn du etwa

x = t a n h (u)

setzt, dann gilt die ganze Rechnung ab hier von vornherein nur für

| x | < 1,

x = t a n h (u)

keine Werte außerhalb dieses Bereichs annimmt. Um nun auch für

| x | > 1

ein Ergebnis zu erhalten, musst du dir also noch etwas einfallen lassen - zB die Substitution

x = c o t h (u),

welche nur für

| x | > 1

gilt. Es ist also nicht so, dass bei der einen Substitution fürs ganze Integral das eine Ergebnis rauskommt und bei Verwendung der anderen Substitution plötzlich etwas anderes. Die jeweiligen Rechnungen gelten eben nur für einen bestimmten x-Bereich.
Es ist also keineswegs einfach definiert, dass zB

\int \frac{1}{1 - x^{2}} d x = \frac{1}{2} a r t a n h (x) + C

für

| x | < 1

ist. Es ergibt sich zwingend.

Luna- aktiv_icon

12:00 Uhr, 17.07.2018

Danke vielmals ! Jetzt ist mir alles klar!

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