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Integral von Funktion mit Fallunterscheidung

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Fallunterscheidung, Integration

Descartes aktiv_icon

16:15 Uhr, 30.10.2016

Gegeben sei die Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ

definiert durch

f (x, y) := (\begin{array}{rcl} y^{- 2} . . . . . . 0 < x < y < 1 \\ - x^{- 2} . . . . . . 0 < y < x < 1 \\ 0 . . . . . . s o n s t \end{array}

Berechne die beiden iterierten Integrale

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f (x, y) d x d y

und

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f (x, y) d y d x

.

Wie integriert man denn so eine eine Funktion, die eine Fallunterscheidung beinhaltet? Ich kann mir die Funktion sowieso nicht so recht vorstellen - z.B. für x = 0,5 können ja je nach y verschiedenste Werte angenommen werden. Wie integriert man denn so etwas? Wenn ich für jeden Fall einzeln integriere, kommt bei den iterierten Integralen ja immer null raus.

Würde mich über ein paar Tipps freuen, danke smile

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

00:15 Uhr, 31.10.2016

Hallo
die beiden Integrale verstehe ich nicht die sehen doch gleich aus?
aber zeichne mal die 2 gegebenen Gebiete ein, es sind die 2 Dreiecke die aus

y = x, x = 1

und

y = 1

gebildet werden. jetzt stell dir vor, das im oberen Dreieck die Massendichte

y^{- 2}

)ist im unteren die Massendichte

- x^{- 2}

und ddu willst die Gesamtmasse de Quadrates berechnen.
Gruß ledum

Descartes aktiv_icon

09:06 Uhr, 31.10.2016

Hey,

danke für die Antwort.

Der Unterschied zwischen den beiden Integralen ist, dass beim einen zuerst nach x, beim anderen zuerst nach y integriert wird.

Die Vorstellung mit den beiden Dreiecken kann ich nachvollziehen. Nach dieser Argumentation müsste man also, um f zu integrieren, über beide "Dreiecke" einzeln integrieren und die Ergebnisse dann addieren, oder?

pwmeyer aktiv_icon

09:24 Uhr, 31.10.2016

Hallo,

wenn Du zum Beispiel zuerst über

y

integrierst, dann musst Du das Integral aufspalten, um die unterschiedlichen Definitionen zu berücksichtigen:

\int_{0}^{1} . .

d y = \int_{0}^{x} .

d y + \int_{x}^{1} . .

d y

Gruß pwm

Descartes aktiv_icon

10:12 Uhr, 31.10.2016

\int_{0}^{1} f (x, y) d y

\int_{0}^{x} y^{- 2} d y

\int_{x}^{1} - x^{- 2} d y

Da kommt dann +

\infty

raus. Analog bei Integration nach x -

\infty

. Hab ich das richtig gemacht?

Descartes aktiv_icon

09:55 Uhr, 01.11.2016

Wie geht es dann denn weiter? Wie funktioniert es denn dann mit der Integration über x, wenn ich nach y integriert habe?
Also nochmal von vorn: Wenn ich mich nicht verrechnet habe ist

\int_{0}^{1} f (x, y) d y

\int_{0}^{x} y^{- 2} d y

\int_{x}^{1} - x^{- 2} d y

a^{- 1} - x^{- 2}

, wobei a gegen 0 geht.

Davon dann

\int_{0}^{1} a^{- 1} - x^{- 2} d x

\int_{0}^{1} a^{- 1} d x

\int_{0}^{1} x^{- 2} d x

a^{- 1} + 1 - b^{- 1}

, wobei a und b jeweils gegen 0 gehen! Was mache ich denn damit?

Könnte mir da jemand vielleicht weiterhelfen? Danke :-)

Descartes aktiv_icon

18:41 Uhr, 01.11.2016

Wäre toll, wenn mir zumindest jemand rückmelden könnte, ob meine Rechnung so passt oder ob ich etwas falsch gemacht habe. Stimmt die Aufteilung der Integrale so? Was mache ich mit dem Endergebnis? Danke :-)

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