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Integral von arccos(cos x)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

loinwe aktiv_icon

13:43 Uhr, 26.11.2009

Ich muss ein Integral berechen und weiß nicht genau, wie ich dabei vorgehen soll.

arccos(cos

x)

soll mit einem Integral von -1pi/5 bis 7pi/3 berchnet werden (leider hat der Formeleditor dieses Mal nicht richtig funktioniert...)

Ich hoffe, jemand kann mir weiterhelfen!

Mit freundlichen Grüßen,
Loinwe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

OmegaPirat

13:50 Uhr, 26.11.2009

arccos und

cos

heben sich auf, es gilt
arccos(cos(x))=x

loinwe aktiv_icon

13:52 Uhr, 26.11.2009

Reicht es dann nur das Integral von "x" zu berechen?

Edddi aktiv_icon

13:52 Uhr, 26.11.2009

...nicht ganz, sondern nur in Intervallen (Sägezahnkurve)

;-)

Edddi aktiv_icon

13:58 Uhr, 26.11.2009

.
.
von

- 2 \cdot π

bis

- 1 \cdot π

gilt:

y = x + 2 \cdot π

von

- 1 \cdot π

bis

0 \cdot π

gilt:

y = - x

von

0 \cdot π

bis

1 \cdot π

gilt:

y = x

von

1 \cdot π

bis

2 \cdot π

gilt:

y = - x + 2 \cdot π

von

2 \cdot π

bis

3 \cdot π

gilt:

y = x - 2 \cdot π

von

3 \cdot π

bis

4 \cdot π

gilt:

y = - x + 4 \cdot π

von

4 \cdot π

bis

5 \cdot π

gilt:

y = x - 4 \cdot π

.
.

usw.

OmegaPirat

13:59 Uhr, 26.11.2009

cos (x)

ist im intervall

[0, π]

injektiv.
arccos ist ja als umkehrfunktion von

f : [0, π] \to ℝ; f (x) = cos (x)

definiert
während

f : ℝ - ℝ; f (x) = cos (x)

nicht umkehrbar ist, da die funktion nicht injektiv ist. das musst du noch berücksichtigen.

loinwe aktiv_icon

14:05 Uhr, 26.11.2009

Danke! Ich werde mich ein wenig probieren und hoffe, dass ich aufs Ergebnis komm.

Edddi aktiv_icon

14:20 Uhr, 26.11.2009

...es gilt wie oben, aber allgemein:

Abschnittsweise definierte Funktion im Bereich

(k - 1) \cdot π

bis

k \cdot π

als:

y = - {(- 1)}^{k} \cdot x + \frac{π}{2} \cdot ({(- 1)}^{k} \cdot [2 \cdot k - 1] + 1)

;-)

Edddi aktiv_icon

14:43 Uhr, 26.11.2009

...so und da

- π < - \frac{π}{5} < 0

und

2 \cdot π < \frac{7}{3} \cdot π < 3 \cdot π

wird die Fläche so berechnet:

\int_{- \frac{π}{5}}^{0} - x \cdot d x + \int_{0}^{π} x \cdot d x + \int_{π}^{2 \cdot π} (- x + 2 \cdot π) \cdot d x + \int_{2 \cdot π}^{\frac{7}{3} \cdot π} (x - 2 \cdot π) \cdot d x

= \int_{0}^{\frac{π}{5}} x \cdot d x + 2 \cdot \int_{0}^{π} x \cdot d x + \int_{0}^{\frac{1}{3} \cdot π} x \cdot d x

;-)

loinwe aktiv_icon

23:55 Uhr, 29.11.2009

Vielen Dank!

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