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Integral von ( t * cos( t) ) dt

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

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20:19 Uhr, 08.01.2015

Hallo miteinander!

Ich kämpfe seit 2 Tagen mit einem Integral, das ich dringend korrekt mit Rechenweg brauche weil ich damit weiterrechnen muss...

\int_{0}^{2} t \cdot cos (\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π \cdot t)

Problem ist: Alle Lösungen die mir gegeben wurden bzw. die der Onlineintegrator ausspuckt sind deutlich einfacher als das was ich bekomme.
Ich muss das ganze mit partieller Integration lösen. Was mache ich falsch?

\int_{a}^{b} v \cdot u' = {[u \cdot v]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u \cdot v'

(Stimmt mit Zuordnung/Reihenfolge unten überein)

v = t

v' = 1

u' = cos (\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π \cdot t)

u = sin (\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π \cdot t) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π}

\int_{0}^{2} t \cdot cos (\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π \cdot t) = {[sin (\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π \cdot t) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π} \cdot t]}_{0}^{2} - \int_{0}^{2} sin (\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π \cdot t) \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π} \cdot 1

= (sin (k \cdot Π) \cdot \frac{4}{k \cdot Π} - 0) - {[- cos (\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π \cdot t) \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π)}^{2}}]}_{0}^{2}

= sin (k \cdot Π) \cdot \frac{4}{k \cdot Π} - (- cos (k \cdot Π) \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π)}^{2}} - (- cos (0) \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π)}^{2}}))

= sin (k \cdot Π) \cdot \frac{4}{k \cdot Π} + cos (k \cdot Π) \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π)}^{2}} - \frac{1}{{(\frac{1}{2} \cdot k \cdot Π)}^{2}}

= sin (k \cdot Π) \cdot \frac{4}{k \cdot Π} + cos (k \cdot Π) \cdot \frac{4}{{(k \cdot Π)}^{2}} - \frac{4}{{(k \cdot Π)}^{2}}

= \frac{4}{{(k \cdot Π)}^{2}} \cdot (sin (k \cdot Π) \cdot (k \cdot Π) + cos (k \cdot Π) - 1)

Stimmt das soweit?

Der OnlineIntegrator bekommt folgendes raus:

= \frac{4}{{(k \cdot Π)}^{2}} \cdot (- sin (k \cdot Π) \cdot (k \cdot Π) + cos (k \cdot Π) + 1)

Wo hackt es mit dem vorzeichen?

Danke für eure Mühe!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

20:40 Uhr, 08.01.2015

Bei Dir ist alles richig, bis auf dass Du kein

d t

schreibst, was natürlich sehr unschön ist.
Und

π

ist einfach \pi, nicht \Pi.

Was für Onlineintegrator Du nutzt, weiß ich nicht.
Allerdings beachte, dass

\sin (k π) = 0

für alle natürliche

k

, deshalb

\sin (k π) = - \sin (k π)

Rapho aktiv_icon

20:57 Uhr, 08.01.2015

Aaaaach so funktioniert das:

π

Aaaah super,

sin (k \cdot π) = 0!

Wieso hab ichs nicht gleich gesehn!

Das ergebnis hab ich mit dem Integrator von www.integralrechner.de bekommen...seltsam...

Habe es nochmal mit dem von wolframalpha gemacht. Dort kommt das richtige Ergebnis raus.

Dann mal danke!

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