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Integration durch Substitution

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Binomische Formeln, Bruch, Integration, Substitution

Max3097 aktiv_icon

20:35 Uhr, 10.11.2023

Hallo,

ich habe folgende Funktion:

\int_{0}^{R} \frac{x}{{(2 + x^{2})}^{2}} d x

Ich habe als Lösung

\frac{R^{2}}{8 + 4 R^{2}}

vorgegeben.

Mein Ansatz war, dass

\frac{d z}{d x} = 2 x

ist und

d x = \frac{1}{2 x} d z

ist

Und der Termin dann so aussieht:

\int_{0}^{R} \frac{x}{{(z)}^{2}} d x

= \int_{0}^{R} \frac{x}{{(z)}^{2}} \frac{1}{2 x} d z

Allerdings komme ich nun nicht weiter, oder verrechne mich immer.
Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Binomische Formeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Binomische Formeln erkennen und anwenden

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

20:42 Uhr, 10.11.2023

Kürze durch

x

Max3097 aktiv_icon

20:47 Uhr, 10.11.2023

Dann komme ich auf

\int \frac{1}{z^{2}} d z

ist das richtig?

Wenn ich für

z = 2 + x^{2}

einsetze erhalte ich

\int \frac{1}{2 {(2 + x^{2})}^{2}}

Respon

20:51 Uhr, 10.11.2023

Dann komme ich auf

. .

\int \frac{1}{2 \cdot z^{2}} d z = ...

Max3097 aktiv_icon

20:55 Uhr, 10.11.2023

Sorry, ja ich komme auf

\int \frac{1}{2 (z^{2})} d z = \frac{1}{2 {(2 + x^{2})}^{2}}

= \frac{1}{{(4 + 2 x^{2})}^{2}}

ist das richtig? Wie mache ich dann weiter?

Für die neuen Grenzen habe ich

z (0) = 2 + 0^{2} = 0

und

z (R) = 2 + R^{2}

erhalten

Respon

20:58 Uhr, 10.11.2023

\int \frac{1}{2 \cdot z^{2}} d z = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 + x^{2}}

(+ C)

. .

. und jetzt die Grenzen...

Max3097 aktiv_icon

21:09 Uhr, 10.11.2023

\int \frac{1}{2 \cdot z^{2}} d z = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z}

Welche Schritte muss ich für die Umformung machen und wo kommt das Minus her?

Respon

21:14 Uhr, 10.11.2023

Die Regel für die Integration einer Potenz lautet: Der Exponent wird um 1 vergrößert und man dividiert durch diesen um 1 vergrößerten Exponenten.

\frac{1}{z^{2}} = z^{- 2} \to \frac{z^{- 2 + 1}}{- 2 + 1} = \frac{z^{- 1}}{- 1} = - \frac{1}{z}

Roman-22

21:17 Uhr, 10.11.2023

ich würde es auf die Regel

\int f (g (x)) \cdot g' (x) d x = F (g (x)) + C,

hinbasteln, wobei

F

eine Stammfunktion von

f

ist.

Hier also

... = \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{R} {(2 + x^{2})}^{- 2} \cdot 2 x d x = (⋆)

also mit

g (x) = 2 + x^{2}

und

f (...) = {(...)}^{- 2},

also

F (...) = - {(...)}^{- 1}

(⋆) = - \frac{1}{2} {(2 + x^{2})}^{- 1} |_{0}^{R} = - \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2 + R^{2}} - \frac{1}{2}) = \frac{R^{2}}{4 \cdot (2 + R^{2})}

Max3097 aktiv_icon

21:19 Uhr, 10.11.2023

Okay danke :-)

Um jetzt aber auf die Lösung zu kommen muss ich bei

\int \frac{1}{2 \cdot z^{2}}

meine neuen Grenzen einsetzen?

Also wäre das dann

\frac{1}{2 \cdot {(2 + R^{2})}^{2}} - \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}

Respon

21:24 Uhr, 10.11.2023

- \frac{1}{2 \cdot (2 + x^{2})} |_{0}^{R} = - \frac{1}{2 \cdot (2 + R^{2})} + \frac{1}{2 \cdot 2} = . .

Max3097 aktiv_icon

21:27 Uhr, 10.11.2023

Ich verstehe es gerade nicht ganz. Welchen letzten Bruch genau?

Respon

21:32 Uhr, 10.11.2023

Abgesehen von den Vorzeichen.
Du hattest

\frac{1}{2 \cdot 2^{2}},

richtig wäre aber

\frac{1}{2 \cdot 2}

Max3097 aktiv_icon

21:36 Uhr, 10.11.2023

Ich gebe jetzt in den Term

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z}

meine neuen Grenzen ein.

Dann erhalte ich

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 + R^{2}} - (- \frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}

Ist das soweit richtig?

Wenn ich das aber nun weiter zusammenfasse komme ich auf

- \frac{1}{4 + 2 R^{2}} + \frac{1}{4}

Respon

21:40 Uhr, 10.11.2023

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 + R^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2}

Bringe diese beiden Brüche auf gemeinsamen Nenner.

Max3097 aktiv_icon

21:51 Uhr, 10.11.2023

Ich stehe komplett auf dem Schlauch. Ich hätte den zweiten Bruch jeweils im Nenner und Zähler mit

2 + R^{2}

multipliziert. Aber dann komme ich wieder nicht auf das richtige Ergebnis.

Max3097 aktiv_icon

21:51 Uhr, 10.11.2023

Ich stehe komplett auf dem Schlauch. Ich hätte den zweiten Bruch jeweils im Nenner und Zähler mit

2 + R^{2}

multipliziert. Aber dann komme ich wieder nicht auf das richtige Ergebnis.

Respon

21:58 Uhr, 10.11.2023

Ja, manchmal hängt man bei "kleinigkeiten".
Wir hatten also

- \frac{1}{2 \cdot (2 + R^{2})} + \frac{1}{2 \cdot 2}

Der 1. Nenner ist

2 \cdot (2 + R^{2})

Der 2. Nenner ist

2 \cdot 2

\Rightarrow

gemeinsamer Nenner

2 \cdot 2 \cdot (2 + R^{2})

Der 1. Bruch wird mit 2 erweitert, der 2. Bruch mit

(2 + R^{2})

- \frac{1}{2 \cdot (2 + R^{2})} + \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{- 2}{2 \cdot 2 \cdot (2 + R^{2})} + \frac{2 + R^{2}}{2 \cdot 2 \cdot (2 + R^{2})} = \frac{R^{2}}{8 + 4 \cdot R^{2}}

Max3097 aktiv_icon

22:01 Uhr, 10.11.2023

Super, jetzt habe ich es verstanden!

Vielen, vielen Dank! :-)

Respon

22:02 Uhr, 10.11.2023

Gern geschehen !

KL700 aktiv_icon

06:45 Uhr, 11.11.2023

Zur Kontrolle:
www.integralrechner.de

Mathe45

06:55 Uhr, 11.11.2023

Vor allem bei Klausuren und mündlichen Prüfungen sehr zu empfehlen !

HAL9000

11:08 Uhr, 11.11.2023

Seltsam, wie oft sowas zu beobachten ist: Die Operationen auf höherer Ebene (hier Integration durch Substitution) werden noch weitgehend beherrscht, zumindest was die technische Umsetzung betrifft. Aber dann scheitert man bzw. verbringt ewig viel Zeit an der simplen Zusammenfassung einiger Terme (hier das Bringen auf einen gemeinsamen Nenner). Ein Schelm der denkt, dass da im Schulunterricht einiges schiefgelaufen ist...

HJKweseleit aktiv_icon

00:00 Uhr, 12.11.2023

\int_{0}^{R} \frac{x}{(2 + x^{2})^{2}} d x

Schreib doch erst mal: z =

2 + x^{2}

mit dz/dx=2x, also dx=dz/2x.

Jetzt die Grenzen betrachten: Wenn x=0 ist, ist z=2. Wenn x=R ist, ist z=2+

R^{2}

Nun kannst du substituieren:

\int_{0}^{R} \frac{x}{(2 + x^{2})^{2}} d x = \int_{2}^{2 + R^{2}} \frac{x}{z^{2}} \frac{d z}{2 x}

, jetzt mit x kürzen:
=

\int_{2}^{2 + R^{2}} \frac{1}{2 z^{2}} d z = - \frac{1}{2 z} ∣_{2}^{2 + R^{2}} = - \frac{1}{4 + 2 R^{2}} - (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 + 2 R^{2}} = \frac{2 + R^{2}}{8 + 4 R^{2}} - \frac{2}{8 + 4 R^{2}} = \frac{R^{2}}{8 + 4 R^{2}}

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