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Integration durch Substitution, bestimmtes Integra

Universität / Fachhochschule

Tags: Bestimmtes Integral, Integration durch Substitution, Integrationsgrenzen

Gwunderi aktiv_icon

12:46 Uhr, 24.01.2015

Hallo zusammen,

Lerne gerade die Integration durch Substitution aus Videos und sonstigem Online-Material, und verstehe es einfach nicht. Ich poste mal zwei Aufgaben:

\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2 + x^{2}}} d x

u = 2 + x^{2}

u' = 2 x = \frac{d u}{d x}

d x = \frac{d u}{2 x}

\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2 x} d u = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{u} = \sqrt{u} = {[\sqrt{2 + x^{2}}]}_{0}^{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}

Hier wird rücksubstituiert und die Integrationsgrenzen werden belassen.

In einer weiteren Aufgabe wird hingegen nicht rücksubstituiert und die Grenzen werden angepasst:

\int_{0}^{1} (2 x + 4)^{3} d x

u = 2 x + 4

d x = \frac{d u}{2}

\int_{4}^{6} u^{3} \cdot \frac{1}{2} d u = {[\frac{1}{8} u^{4}]}_{4}^{6} = \frac{1}{8} (6^{4} - 4^{4}) = 130

Hatte schon mal gehört, dass das dx nicht einfach eine Verzierung ist, sondern dass man damit rechnen kann, verstehe aber schon nicht, was man da genau macht, wenn man das dx mit du (mal irgendwas) ersetzt - kann es ja auswendig lernen, aber weit davon, es zu verstehen und das gefällt mir gar nicht : )

Und dann werden einmal die Integrationsgrenzen angepasst, in einer anderen Aufgabe nicht … online finde ich nirgends Erklärungen, es wird einfach nur schön vorgerechnet.

Wäre toll, wenn mir das mal jemand erklären könnte : )

Obige Aufgaben habe ich aus:
www.youtube.com/watch?v=5yAP4q1oeBg und
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/integration-durch-substitution-video.html (letzte Aufgabe)

Danke schonmal : )

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln zum Integral
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenberechnung und bestimmtes Integral

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

13:35 Uhr, 24.01.2015

Ist deine Frage "Wie werden die Grenzen angepasst ?"

Gwunderi aktiv_icon

13:48 Uhr, 24.01.2015

Hallo Respon,

Zur Aufgabe mit den angepassten Grenzen:
Hatte gestern etwas falsch gerechnet: Das Ergebnis ist dasselbe, ob man die Grenzen anpasst und dafür nicht rücksubstituiert oder die Grenzen belässt und dafür rücksubstituiert, in obiger Aufgabe kommt man beide male auf 130 (war gestern auf verschiedene Ergebniss gekommen und vor allem deshalb nun endgültig verwirrt : )
Wie die Grenzen angepasst werden, sehe ich also (verstehen ist was anderes).

Was bleibt, ist: was soll das dx, und warum kann man damit rechnen, also was macht man da genau, wenn man dx durch du ersetzt?

Habe mir auch ein Video angeschaut, wo man erklärt, wie man von der Kettenregel der Differentiation auf die Substitutionsregel kommt, habe es so halbwegs (ziemlich) verstanden (warum man dx durch du ersetzt sehe ich aber noch nicht).

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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