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Integration einer Kugel

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Kugel

Max-02 aktiv_icon

15:40 Uhr, 11.08.2023

Es sei

R > 0, n

∈

ℕ > 1

und

K = {(x, y, z)

∈

ℝ^{3} | \frac{R^{2}}{n^{2}}

≤

x^{2} + y^{2} + z^{2}

≤

R^{2}}

die Kugelschale einer Kugel mit Radius R. Berechnen Sie den Wert des Integrals

\int \int \int {(\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})}^{- 1} \cdot e^{x^{2} + y^{2} + z^{2}} d (x, y, z)

Das ist meine Aufgabe, soweit dazu. Mein erster Ansatz war eine Transformation wie man das normalerweise so macht, nur komme ich dann immer noch nicht weiter weil ich keine Ahnung habe wie ich das Integral lösen soll.
Und Ich will das lösen weil ich am

17.8

Klausur schreibe.
Please Help

MfG
Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

16:01 Uhr, 11.08.2023

Hallo
Das integral ist mit den üblichen Funktionen nicht zu lösen du brauchst wenn überhaupt die Terrorfunktion Ei(r)
deshalb bezweifle ich, dass das eine Aufgabe in einer Klausur sein soll-

a)

soll man das abschätzen,b) einen numerischen

W

eg finden, oder für große

n

zupass dient sonst das

n

.
also bitte die genaue Aufgabe
Gruß ledum

Max-02 aktiv_icon

17:49 Uhr, 11.08.2023

Also unser Dozent hat uns diese Aufgabe in einer Übung gestellt.
Die Aufgabe habe ich komplett abgeschrieben.
Irgendeine lösung ohne Hilfsmittel muss es doch geben

Max-02 aktiv_icon

17:49 Uhr, 11.08.2023

michaL aktiv_icon

18:29 Uhr, 11.08.2023

Hallo,

also, ich denke doch, dass es gut lösbar ist.

Durch Transformation in Kugelkoordinaten wird aus dem Integrand zunächst

\frac{1}{r} e^{r^{2}}

.

Das Differential

d (x, y, z)

wird zu

r^{2} \sin (θ) d r d θ d φ

.

Zusammengebaut ergibt sich (erst einmal ohne Grenzen):

\int \int \int \frac{1}{r} e^{r^{2}} \cdot r^{2} \sin (θ) d r d θ d φ = \int \int \int r \sin (θ) e^{r^{2}} d r d θ d φ

, was wunderbar zerfällt in:

(\int r e^{r^{2}} d r) (\int \sin (θ) d θ) (\int d φ)

Grenzen würde ich wie folgt sehen:

0 \leq θ \leq π

0 \leq φ \leq 2 π

und

\frac{R}{n} \leq r \leq R

.

Ich sehe nicht, wieso sich das nicht rechnen lassen sollte.

Mfg Michael

Roman-22

18:42 Uhr, 11.08.2023

>

du brauchst wenn überhaupt die Terrorfunktion Ei(r)

:-)
Ein schöner Freud'scher

Randolph Esser aktiv_icon

19:40 Uhr, 11.08.2023

Es gibt nix Gutes, außer man tut es...

\int \int \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} e^{x^{2} + y^{2} + z^{2}} d x d y d z

über

K

= \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \int_{\frac{R}{n}}^{R} \frac{1}{r} e^{r^{2}} r^{2} sin (θ) d r d φ d θ

= \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \int_{\frac{R}{n}}^{R} sin (θ) r e^{r^{2}} d r d φ d θ

= \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (\frac{1}{2} sin (θ) e^{r^{2}} |_{r = \frac{R}{n}}^{R}) d φ d θ

= \int_{0}^{π} (\frac{1}{2} sin (θ) (e^{R^{2}} - e^{\frac{R^{2}}{n^{2}}}) φ |_{φ = 0}^{2 π}) d θ

= - π cos (θ) (e^{R^{2}} - e^{\frac{R^{2}}{n^{2}}}) |_{θ = 0}^{π}

= - 2 π (e^{R^{2}} - e^{\frac{R^{2}}{n^{2}}})

ledum aktiv_icon

20:32 Uhr, 11.08.2023

Danke ich hatte das

r^{2}

vin dV vergessen
ledum

michaL aktiv_icon

20:48 Uhr, 11.08.2023

Hallo miteinander,

@Kartoffelkäfer:

{- \cos (θ) ∣}_{0}^{π} = \oplus 2

Ansonsten hast du es gut gemacht.

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

21:29 Uhr, 11.08.2023

Danke, das ist, weil die ganze Zeit
irgendwelche böse brüllenden
Autos und Motorräder (gefühlt)
durch meine Wohnung rasen.
Wohn an ner Hauptverkehrsstraße
ohne Schallschutz, übelst...

Seien also die letzten zwei Zeilen

meiner Rechnung oben

... = - π cos (θ) (e^{R^{2}} - e^{\frac{R^{2}}{n^{2}}}) |_{θ = 0}^{π}

= 2 π (e^{R^{2}} - e^{\frac{R^{2}}{n^{2}}})

HJKweseleit aktiv_icon

01:57 Uhr, 12.08.2023

Das Ganze geht viel einfacher zu lösen, wenn man sich mit den geometrischen Verhältnissen beschäftigt.

Analyse: Man hat eine Hohlkugel, Außenradius R, Innenradius R/n, konzentrisch. Integriert wird über das gesamte Schalenvolumen. Dabei ist der Bewertungsfaktor