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Integration über verschobenem Kreis

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Integration

Tags: Integration

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21:55 Uhr, 20.12.2017

Hallo,

es geht um folgende Aufgabe:

"Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der von den Flächen z=0, x²+y²=2x und z=x²+y² begrenzt wird."

Es geht also um einen Paraboloid, um einen verschobenen Kreis und die Fläche, die von denen eingeschlossen wird. Meine Frage dazu ist nun, wie man den verschobenen Kreis parametrisiert.

Vielen Dank für Antworten

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

22:03 Uhr, 20.12.2017

Der "verschobene Kreis"

x^{2} + y^{2} = 2 x

ist als Fläche in Wirklichkeit ein gerader Kreiszylinder mit z-paralleler Achse! Die z-Werte der Fläche sind daher unabhängig von

x

und

y

.
Eine mögliche Parametrisierung ist

\vec{x} (u, v) = (\begin{matrix} 1 + cos u \\ sin u \\ v \end{matrix})

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22:15 Uhr, 20.12.2017

Der Paraboloid hat seinen Scheitelpunkt in SP (0/0/0), aber der Kreis hat seinen Mittelpunkt in (1/0/0). Wie würde man denn nun die Integrationsgrezen parametrisieren?

Roman-22

22:22 Uhr, 20.12.2017

Was meinst du mit " Integrationsgrezen parametrisieren" ?
Überlege dir, wie der Schnitt in jeder Höhe

z

aussieht - es sind immer zwei Kreise zu scheiden - und wie deine z-Grenzen lauten.

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22:34 Uhr, 20.12.2017

Die Frage ist, wie man das Volumen zwischen den beiden Flächen des Paraboloiden und des Kreises berechnet. Das muss also mit Integralrechnung passieren. Und meine Frage ist, wie man da die Grenzen wählen muss, damit jedenes Volumen berechnet werden kann.

Roman-22

22:39 Uhr, 20.12.2017

Indem du dir, wie schon gesagt, für jede Höhe

z

die Schnittpunkte der beiden Kreise berechnest und dir auch überlegst, bis zu welche Höhe

z

du Integrieren musst.

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22:43 Uhr, 20.12.2017

Und wie sieht das dann am Ende aus?
Ich habe keine Vostellung, wie man auf diese Grenzen kommt.

ledum aktiv_icon

00:53 Uhr, 21.12.2017

Hallo
zeichne einen Schnitt deren Paraboloids in der

y = 0

Ebene, skizzier dann den Kreis etwas perspektivisch ein und du siehst das Volumen, oder benutze geogebra

3 d

dazu
Gruß ledum

Roman-22

01:16 Uhr, 21.12.2017

Lass dir das Ding plotten oder mach dir selbst eine schnelle Handskizze davon.
Wie von ledum schon vorgeschlagen, kannst du im Kreuzriss (Projektion auf die xz-Ebene) schnell die Grenzen für

z

ermitteln.
Um eine grobe Vorstellung dieses zylinderhufartigen Körpers zu bekommen, solltest du dir überlegen, wie die Schnitte in Grundriss-parallelen Ebenen aussehen, eben die Schnitte der beiden Kreise, wie vorhin schon zweimal erwähnt und von dir beide Male ignoriert.
Das die Schnitte des Paraboloids und des Zylinders in xy-parallelen Ebenen jeweils Kreise sind, wird dir vermutlich klar sein, oder?

Die Verschneidung des Zylinders mit dem Paraboloid ist eine Ellipse, also eine ebene Kurve (ist für deine Rechnung aber nicht wichtig zu wissen), der Körper selbst ist dennoch kein Zylinderhuf, sieht aber so ähnlich aus.
Bild

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00:02 Uhr, 30.12.2017

Ich habe jetzt folgendes dazu gerechnet:

Die Integral-Grenzen des 2D-Kreises ohne die Höhe z ergeben sich zu:

x^{2} + y^{2} = 2 x

\overset{}{\Leftrightarrow} x^{2} - 2 x = - y^{2}

\overset{}{\Leftrightarrow} (x - 1)^{2} - 1 = - y^{2}

\overset{}{\Leftrightarrow} (x - 1)^{2} = 1 - y^{2}

\overset{}{\Leftrightarrow} x - 1 = \pm \sqrt{1 - y^{2}}

\overset{}{\Leftrightarrow} x = 1 \pm \sqrt{1 - y^{2}}

Daraus folgt:

\int_{- 1}^{1} \int_{1 - \sqrt{1 - y^{2}}}^{1 + \sqrt{1 - y^{2}}} d x d y

Für den gesamten Körper ergibt sich die Höhe z zu jeder Koordinate x und y wie folgt:

z = x^{2} + y^{2}

mit x aus der ersten Herleitung:

z = (1 \pm \sqrt{1 - y^{2}})^{2} + y^{2}

z_{m i n} = 2 - 2 \sqrt{1 - y^{2}}

z_{m a x} = 2 + 2 \sqrt{1 - y^{2}}

Das heißt daraus ergibt sich für das Volumen des gesamten Körpers folgendes Integral:

\int_{- 1}^{1} \int_{1 - \sqrt{1 - y^{2}}}^{1 + \sqrt{1 - y^{2}}} \int_{2 - 2 \sqrt{1 - y^{2}}}^{2 + 2 \sqrt{1 - y^{2}}} d z d x d y

Stimmt dieses Integral?

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