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Integration von Wurzelfunktionen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Wurzel

tex24 aktiv_icon

15:05 Uhr, 07.04.2010

Hallo!

Ich hätte hier zwei Integrale mit Wurzeln zu lösen, aber ich komme einfach nicht auf die richtige Lösung, villeicht kann mir von euch jemand helfen (Angaben siehe angefügtes Bild):

zum ersten Beispiel: Hier hab ich eigentlich gar keine Idee, wahrscheinlich wird man es irgendwie mit Substitution lösen können, aber ich weiß einfach nicht wie?

zweites Beispiel: Dieses hätte ich mal mit Substitution versucht, leider hatte ich keinen Erfolg, da das "x" einfach nicht wegfällt?

Kann es sein, dass es bei der Integration einer Wurzel irgendeinen "Trick" gibt, den ich villeicht nicht kenne?

Wäre sehr nett, wenn mir jemand die beiden Beispiele lösen könnte, beim zweiten sollte

3,87

rauskommen, wenn man die Grenzen einsetzt

mfg und danke im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Alx123 aktiv_icon

15:13 Uhr, 07.04.2010

Hallo,
bei Integralen die eine Wurzel der Form

\sqrt{x^{2} + a^{2}}

beinhalten, ist es ratsam folgende Substitution zuverwenden:

x = a \sinh (t), \Rightarrow d x = a \cosh (t) d t

beim zweiten Integral benutzt du die partielle Integration und die obige Substitution.

tex24 aktiv_icon

09:50 Uhr, 08.04.2010

hmm, aber mein Integral hat ja gar nicht diese Form, oder? Und wie kommt man da auf die Idee, dass man

sinh

benützen könnte? Gibt es da Regeln bzw. Merksätze dafür? Ich hab mal

sinh

versucht, komm jedoch auch nicht wirklich weiter, vl. könntest du mir noch ein paar Ansätze liefern

Alx123 aktiv_icon

12:52 Uhr, 08.04.2010

Dann muss man das Integral halt in diese Form bringen. Ja, das findest du in wahrscheinlich jeder etwas ausführlichen Formelsammlung ( Integration nicht rationaler Funktionen ).

\sqrt{12 t^{2} + 8} = \sqrt{12 \cdot (t^{2} + \frac{2}{3})} = \sqrt{12} \cdot \sqrt{t^{2} + \frac{2}{3}}

\Rightarrow \sqrt{12} \int \sqrt{t^{2} + \frac{2}{3}} d t

Sub:

t = \sqrt{\frac{2}{3}} \sinh (u) \Rightarrow d t = \sqrt{\frac{2}{3}} \cosh (u) d u

\Rightarrow \sqrt{12} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \int \sqrt{\frac{2}{3} \sinh^{2} (u) + \frac{2}{3}} \cdot \cosh (u) d u = \sqrt{12} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \int \sqrt{\sinh^{2} (u) + 1} \cdot \cosh (u) d u

= \sqrt{12} \cdot \frac{2}{3} \int \cosh^{2} (u) d u

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