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Irrationalität der n-ten Wurzel einer Primzahl?

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Tags: Irrationalität, n-te Wurzel, Primzahl, Rationalität

 
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Dreemer

Dreemer aktiv_icon

16:16 Uhr, 19.11.2017

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Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe, die sich auf einen Beweis bezieht:

Hier die Aufgabe:

Es sei p eine Primzahl und n∈ℕ,n≥2. Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl x mit x^n=p gibt.
(Das heißt also, dass die reelle Zahl pn irrational ist.)
_______________

Meine Frage ist jetzt, ob man jetzt so ähnlich vorgeht wie beim Beweis, dass sqrt(2) irrational ist.

Also:

Zu zeigen: pn irrational.
Angenommen sie ist rational, dann gilt ab=pn mit a,n teilerfremd.

Daraus folgt: p=(ab)n=anbn⇔bn⋅p=an.

Wenn die linke Seite nun den Faktor p enthält, dann muss der Faktor auch in der rechten Seite enthalten sein. Daher kann man schreiben a=p⋅c.

⇒bn⋅p=(p⋅c)n=pn⋅cn⇔bn=xn-1⋅cn

jetzt muss auch b den Faktor x mindestens einmal enthalten.

Widerspruch zur Voraussetzung, dass a und b teilerfremd sind.

Entsprechend gilt, dass pn nicht rational sein kann, also irrational.

Geht es in die richtige Richtung?

Liebe Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:39 Uhr, 19.11.2017

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Ja, der Beweis ist korrekt.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

16:51 Uhr, 19.11.2017

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Hallo,

darf ich ein bisschen mosern?

Ich finde, dass in

> Wenn die linke Seite nun den Faktor p enthält, dann muss der Faktor auch in der rechten Seite enthalten sein.
> Daher kann man schreiben a=p⋅c.

die Sache zu schnell geht. Wieso sollte gleich a durch p teilbar sein, wenn ich erst einmal nur p∣an habe?!
Hier ist meiner Meinung nach der Schritt zu groß (allerdings nicht falsch).

Es geht übrigens - wie ich finde - sehr schön über die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung.
Dazu muss man allerdings noch beweisen, dass eine Zahl x∈ℕ≥2 genau dann eine n-te Potenz ist (n∈ℕ≥2), wenn jeder in x aufgehende Primfaktor in n-facher Multiplizität auftaucht (bzw. mit anderen Worten: Die Exponenten in der Primfaktorzerlegung von x sind alle durch n teilbar.).

Damit erreicht man hier sehr schön und sehr elementar einen Widerspruch aus der Gleichung an=pbn.

Beweis: zur Übung!

Mfg Michael
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