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Jacobi-Matrix und multivariate Kettenregel

Universität / Fachhochschule

Tags: Kettenregel, totale Differenzierbarkeit

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11:05 Uhr, 29.05.2020

Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe (siehe Bild) (unter dem "Gruß" wird es nur klein angezeigt....)

Mein Gehirn verknotet sich da ich nicht weiß wie ich ohne eine richtig gegebene Funktion

g

weitermachen soll...

Jemand eine Idee, ich sitze da schon Stunden lang dran am überlegen und ich komme immer mehr durcheinander.

Vielen Dank.

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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16:29 Uhr, 29.05.2020

Wozu brauchst du konkrete Formel für

g

? Du brauchst nur partielle Ableitungen

\frac{\partial g}{\partial x}

\frac{\partial g}{\partial y}

.
Einfach die Jacobi-Matrix nach Kettenregel berechnen.

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18:03 Uhr, 29.05.2020

Mir stellt sich halt die Frage, wie ich was ableiten soll wenn ich keine richtige Funktion gegeben habe? Ich stehe da leider komplett auf dem Schlauch

: \frac{-}{}

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18:23 Uhr, 29.05.2020

Du wirst halt als Antwort eine allgemeine Funktion haben.

Nur als Beispiel. Wenn wir eine andere

f

hätten, so eine:

f (x, y) = (x, y^{2})

, dann wäre die Lösung

(\frac{\partial h}{\partial x}, \frac{\partial h}{\partial y}) = (\frac{\partial g}{\partial x} (f (x, y)) \cdot 1 + \frac{\partial g}{\partial y} (f (x, y)) \cdot 0, \frac{\partial g}{\partial x} (f (x, y)) \cdot 0 + \frac{\partial g}{\partial y} (f (x, y)) \cdot 2 y) =

= \frac{\partial g}{\partial x} (f (x, y)) + 2 y \frac{\partial g}{\partial y} (f (x, y))

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22:23 Uhr, 29.05.2020

Dankeschön! Wieso hast du in deinem Beispiel

\partial g

verwendet und nicht

\partial f

für die Funktion f?
Habe es bei mir anders geschrieben?

Also in meinem Falle dann

\to

(\frac{\partial h}{\partial x}, \frac{\partial h}{\partial y}) = (\frac{\partial f}{\partial x} (f (x, y)) \cdot cos (y) + \frac{\partial f}{\partial y} (f (x, y)) \cdot - x \cdot sin (y), \frac{\partial f}{\partial x} (f (x, y)) \cdot sin (y) + \frac{\partial f}{\partial y} (f (x, y)) x \cdot cos (y))

Korrekt? Jetzt bin ich ja aber noch nicht fertig oder?

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12:59 Uhr, 30.05.2020

Fertig, wenn es erlaubt ist, Kettenregel zu nutzen.
Ich kann leider nicht ausschließen, dass ein direkter Beweis erwartet wird.

ermanus aktiv_icon

13:15 Uhr, 30.05.2020

"Korrekt? Jetzt bin ich ja aber noch nicht fertig oder?"

Nein! Nicht korrekt!
Du hast leider die vollkommen richtige Version von DrBoogie
kaputtgemacht :(

Gruß ermanus

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13:22 Uhr, 30.05.2020

Stimmt, die Ableitungen sind vertauscht. Hab übersehen, sorry.

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21:14 Uhr, 31.05.2020

Ich habe doch genauso wie im obigen Beispiel die Funktion nacheinander abgeleitet? Lediglich

\frac{\partial g}{\partial x}

durch

\frac{\partial f}{\partial x}

ersetzt. Diesbezüglich habe ich aber oben schon nachgefragt, aber leider noch keine Antwort darauf erhalten.

Ich versteh es einfach nicht.

Wäre jemand so nett mich einmal aufzuklären, da ich es gerne verstehen möchte. Dankeschön :-)

DrBoogie aktiv_icon

21:57 Uhr, 31.05.2020

Die allgemeine Regel ist ( de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Kettenregel

\frac{\partial h}{\partial x_{j}} (p) = \sum_{k = 1}^{l} \frac{\partial g}{\partial y_{k}} (f (p)) \cdot \frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}} (p)

, wo

h = g \circ f

ist.

In unserem Fall ist

l = 2

und wir haben

\frac{\partial h}{\partial x_{1}} (p) = \frac{\partial g}{\partial y_{1}} (f (p)) \cdot \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (p) + \frac{\partial g}{\partial y_{2}} (f (p)) \cdot \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} (p)

und

\frac{\partial h}{\partial x_{2}} (p) = \frac{\partial g}{\partial y_{1}} (f (p)) \cdot \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} (p) + \frac{\partial g}{\partial y_{2}} (f (p)) \cdot \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} (p)

Nur haben wir

x

und

y

statt

x_{1}, x_{2}

und auch statt

y_{1}, y_{2}

. Und

p

ist

(x, y)

. Damit wird es zu

\frac{\partial h}{\partial x} (x, y) = \frac{\partial g}{\partial x} (f (x, y)) \cdot \frac{\partial f_{1}}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} (f (x, y)) \cdot \frac{\partial f_{2}}{\partial x}

und

\frac{\partial h}{\partial y} (x, y) = \frac{\partial g}{\partial x} (f (p)) \cdot \frac{\partial f_{1}}{\partial y} ((x, y)) + \frac{\partial g}{\partial y} (f ((x, y))) \cdot \frac{\partial f_{2}}{\partial y}

Und mit

f_{1} = x \cos (y)

f_{2} = x \sin (y)

haben

\frac{\partial h}{\partial x} (x, y) = \frac{\partial g}{\partial x} (f (x, y)) \cdot \cos (y) + \frac{\partial g}{\partial y} (f (x, y)) \cdot \sin (y)

und

\frac{\partial h}{\partial y} (x, y) = - \frac{\partial g}{\partial x} (f (p)) \cdot x \sin (y) + \frac{\partial g}{\partial y} (f ((x, y))) \cdot x \cos (y)

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12:06 Uhr, 04.06.2020

Vielen Dank. Jetzt habe ich es Gott sei Dank begriffen. Vielen vielen Dank für deine Mühe.

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