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Jacobi-Matrix und multivariate Kettenregel

Universität / Fachhochschule

Tags: Kettenregel, totale Differenzierbarkeit

 
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piviertelquadrat

piviertelquadrat aktiv_icon

11:05 Uhr, 29.05.2020

Antworten
Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe (siehe Bild) (unter dem "Gruß" wird es nur klein angezeigt....)

Mein Gehirn verknotet sich da ich nicht weiß wie ich ohne eine richtig gegebene Funktion g weitermachen soll...

Jemand eine Idee, ich sitze da schon Stunden lang dran am überlegen und ich komme immer mehr durcheinander.

Vielen Dank.

Gruß

Aufgabe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:29 Uhr, 29.05.2020

Antworten
Wozu brauchst du konkrete Formel für g? Du brauchst nur partielle Ableitungen gx, gy.
Einfach die Jacobi-Matrix nach Kettenregel berechnen.
piviertelquadrat

piviertelquadrat aktiv_icon

18:03 Uhr, 29.05.2020

Antworten
Mir stellt sich halt die Frage, wie ich was ableiten soll wenn ich keine richtige Funktion gegeben habe? Ich stehe da leider komplett auf dem Schlauch :-
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

18:23 Uhr, 29.05.2020

Antworten
Du wirst halt als Antwort eine allgemeine Funktion haben.

Nur als Beispiel. Wenn wir eine andere f hätten, so eine: f(x,y)=(x,y2), dann wäre die Lösung
(hx,hy)=(gx(f(x,y))1+gy(f(x,y))0,gx(f(x,y))0+gy(f(x,y))2y)=
=gx(f(x,y))+2ygy(f(x,y))
piviertelquadrat

piviertelquadrat aktiv_icon

22:23 Uhr, 29.05.2020

Antworten
Dankeschön! Wieso hast du in deinem Beispiel g verwendet und nicht f für die Funktion f?
Habe es bei mir anders geschrieben?

Also in meinem Falle dann

(hx,hy)=(fx(f(x,y))cos(y)+fy(f(x,y))-xsin(y),fx(f(x,y))sin(y)+fy(f(x,y))xcos(y))

Korrekt? Jetzt bin ich ja aber noch nicht fertig oder?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:59 Uhr, 30.05.2020

Antworten
Fertig, wenn es erlaubt ist, Kettenregel zu nutzen.
Ich kann leider nicht ausschließen, dass ein direkter Beweis erwartet wird.
Antwort
ermanus

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13:15 Uhr, 30.05.2020

Antworten
"Korrekt? Jetzt bin ich ja aber noch nicht fertig oder?"

Nein! Nicht korrekt!
Du hast leider die vollkommen richtige Version von DrBoogie
kaputtgemacht :(

Gruß ermanus
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:22 Uhr, 30.05.2020

Antworten
Stimmt, die Ableitungen sind vertauscht. Hab übersehen, sorry.
piviertelquadrat

piviertelquadrat aktiv_icon

21:14 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Ich habe doch genauso wie im obigen Beispiel die Funktion nacheinander abgeleitet? Lediglich gx durch fx ersetzt. Diesbezüglich habe ich aber oben schon nachgefragt, aber leider noch keine Antwort darauf erhalten.

Ich versteh es einfach nicht.

Wäre jemand so nett mich einmal aufzuklären, da ich es gerne verstehen möchte. Dankeschön :-)
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:57 Uhr, 31.05.2020

Antworten
Die allgemeine Regel ist ( de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Kettenregel
hxj(p)=k=1lgyk(f(p))fkxj(p), wo h=gf ist.

In unserem Fall ist l=2 und wir haben

hx1(p)=gy1(f(p))f1x1(p)+gy2(f(p))f2x1(p) und
hx2(p)=gy1(f(p))f1x2(p)+gy2(f(p))f2x2(p)

Nur haben wir x und y statt x1,x2 und auch statt y1,y2. Und p ist (x,y). Damit wird es zu

hx(x,y)=gx(f(x,y))f1x+gy(f(x,y))f2x und
hy(x,y)=gx(f(p))f1y((x,y))+gy(f((x,y)))f2y

Und mit f1=xcos(y), f2=xsin(y) haben

hx(x,y)=gx(f(x,y))cos(y)+gy(f(x,y))sin(y) und
hy(x,y)=-gx(f(p))xsin(y)+gy(f((x,y)))xcos(y)
Frage beantwortet
piviertelquadrat

piviertelquadrat aktiv_icon

12:06 Uhr, 04.06.2020

Antworten
Vielen Dank. Jetzt habe ich es Gott sei Dank begriffen. Vielen vielen Dank für deine Mühe.