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Koeffizientenvergleich bei Polynomen

Schüler

Tags: Koeffizientenvergleich, polynom, Potenz

Bertas aktiv_icon

14:39 Uhr, 08.11.2023

Komme bei der Lösung einer Aufgabe, bei der ein Koeffizientenvergleich gemacht werden müsste,
es geht um eine Polynomgleichung, nicht weiter, es gibt zwei Lösungsansätze,
weiß leider nicht welcher der Richtige ist.....!

folgende Polynomgleichung, die richtig ist, ist vorgegeben:
1=1/(64·x^12-64·x^10+48·x^8-32·x^6+12·x^4-4·x^2+1)·
(64·a·x^12+32·a·x^8-32·a·x^6+20·a·x^4-64·b·x^10
-64·b·x^8-12·b·x^2+16·b·x^4+16·c·x^8+32·c·x^6-8·c·x^4+c)

möchte jetzt die gesuchten Faktoren

a, b

und

c

ermitteln:

es gibt wie schon Geschrieben, zwei Lösungsansätze für den Koeffizientenvergleich:

1. a =64*x^12/(64*x^12)+(-16c+64b+48)x^8/(32x^8)+(-32c-32)x^6/(-32x^6)....usw.

b = 64 \frac{x^{10}}{64 x^{10}} + (16 c + 32 a - 48) \frac{x^{8}}{64 x^{8}} + ... . .

c = ... .

.
habe die Polynomgleichung nach

a, b, c

umgestellt und dann die Potenzen zugeordnet

a : 12,8,6,4

b : 10,8,4,2

c : 8,6,4,0,

dies sind die zugeordneten Potenzen

1. Lösungsansatz: Ermittlung von

a, b, c

durch das unter 1. aufgeführte Gleichungssystem
2. Lösungsansatz: Zuordnung der Gleichungen nach den Potenzen, übergreifend, also:

x^{8} : a = (- 16 c + 64 b + 48) \frac{x^{8}}{32 x^{8}}, b = (16 c + 32 a - 48) \frac{x^{8}}{64 x^{8}}

usw., auch dieses Gleichungssystem ist lösbar
erhalte für den 1. Lösungsansatz, den ich favorisiere:

a = \frac{57}{25}, b = - \frac{71}{75}, c = - \frac{19}{25}

2. Lösungsansatz:

a = \frac{5}{6}, b = - \frac{3}{8}, c = - \frac{1}{6}

alle beiden Lösungsansätze führen jedoch nicht zum Ergebnis für die Polynomgleichung, es wird da ein Rechenfehler mit darin sein, von mir.....
Möchte von Ihnen jetzt bitte wissen welche Lösungsansatz richtig ist, damit ich dem Rechenfehler, der vorhanden ist, nachgehen kann!!!!!!!

Beispiel für den Koeffizientenvergleich war diese von mir gelöste Aufgabe, bei der ich den 1. Lösungsansatz verwendet habe....(ist dieser für die Polynomgleichung auch richtig?):

http//www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Integration.html

meine Webseite, obere Aufgabe, siehe Koeffizientenvergleich

Danke für die Antworten! Viele Grüße, Bert Wichmann!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

HAL9000

15:00 Uhr, 08.11.2023

Wenn ich das richtig verstehe, dann soll diese Gleichung

1=1/(64·x^12-64·x^10+48·x^8-32·x^6+12·x^4-4·x^2+1)·
(64·a·x^12+32·a·x^8-32·a·x^6+20·a·x^4-64·b·x^10
-64·b·x^8-12·b·x^2+16·b·x^4+16·c·x^8+32·c·x^6-8·c·x^4+c)

für alle

x

, oder zumindest doch für alle

x

aus einem Intervall positiver Gesamtlänge gelten?

Das ist nach Multiplikation mit dem Nenner gleichbedeutend damit, dass

64 x^{12} - 64 x^{10} + 48 x^{8} - 32 x^{6} + 12 x^{4} - 4 x^{2} + 1

= 64 a x^{12} + 32 a x^{8} - 32 a x^{6} + 20 a x^{4} - 64 b x^{10} - 64 b x^{8} - 12 b x^{2} + 16 b x^{4} + 16 c x^{8} + 32 c x^{6} - 8 c x^{4} + c

gelten muss. Koeffizientenvergleich über alle Potenzen ergibt das aus 7 Gleichungen bestehende lineare Gleichungssystem

64 = 64 a

- 64 = - 64 b

48 = 32 a - 64 b + 16 c

- 32 = - 32 a + 32 c

12 = 20 a + 16 b - 8 c

- 4 = - 12 b

1 = c

für die nur 3 Variablen

a, b, c

, bei dem man sehr schnell sieht, dass es KEINE Lösung besitzt.

Was soll also das ganze?

P.S.: Was du da in der Folge rechnest, ist mir völlig schleierhaft - ich erkenne keinen Bezug zur Ausgangsgleichung.

Bertas aktiv_icon

15:20 Uhr, 08.11.2023

Hätte ich mit dazu schreiben sollen,

a, b

und

c

ergeben schließlich Polynomgleichungen wieder:
ich möchte die Faktoren

a, b, c

als Polynomgleichung, so daß die ganz oben stehende Gleichung stimmt!

a = \frac{64 x^{12} + (- 16 c + 64 b + 48) x^{8} + ... ... ...}{64 x^{12} + 32 x^{8} - 32 x^{6} + 20 x^{4}}

b = ... .

.

Habe ein Polynom für die Errorfunktion gesucht, Lösungsansatz wie auf dem angegebenen Link.....

2. f(x)*f'(x)/(f''(x))*s(x)=Integral

e^{- x^{2}}

f (x) = e^{- x^{2}}, s (x) = (a (x), b (x), c (x))

s (x) = \frac{a \cdot 4 x^{4} - b \cdot 4 x^{2} + c}{4 x^{4} + 1},

dies war mein Ansatz

Ableitung von 2. und man kommt auf die in der Aufgabe eingestellte Polynomgleichung....

HAL9000

15:27 Uhr, 08.11.2023

Wenn

a, b, c

keine Konstanten sind, sondern beliebige gebrochen rationale Funktionen sein dürfen, dann ist die Lösung doch in keinster Weise eindeutig durch die Ausgangsgleichung bestimmt! Dann muss es doch noch weitere, andere Bedingungen geben, die das ganze dann eingrenzen.

Bertas aktiv_icon

15:31 Uhr, 08.11.2023

durch den gemachten Koeffizientenvergleich gibt es doch eine eindeutige Lösung

HAL9000

15:33 Uhr, 08.11.2023

Nein: Du kannst in

64 x^{12} - 64 x^{10} + 48 x^{8} - 32 x^{6} + 12 x^{4} - 4 x^{2} + 1 = 4 a x^{4} (16 x^{8} + 8 x^{4} - 8 x^{2} + 5)

- 4 b x^{2} (16 x^{8} - 16 x^{6} + 4 x^{2} - 3) + c (16 x^{8} + 32 x^{6} - 8 x^{4} + 1)

zwei der drei gebrochen rationalen Funktionen

a, b, c

beliebig festlegen und diese Gleichung dann nach der dritten umstellen, die ist dann zwangsläufig auch eine gebrochen rationale Funktion in

x

. Wo siehst du da Eindeutigkeit?

--------------------------------------------------------------------

Mir ist nicht klar, was du da treibst, und was das Ziel der ganzen Überlegungen ist. Ich hab mir die Basteleien zur Integration auf deiner Website angeschaut und kann mir ein Lachen kaum verkneifen:

Du nimmst dort die Stammfunktion

F (x)

, multiplizierst die via

g (x) = F (x) \cdot p (x)

mit einer anderen Polynomfunktion (in deinem Fall die skalierte zweite Ableitung von

f

, was aber völlig egal ist), um anschließend in dicken fetten Lettern festzustellen, dass sich die Graphen von

F (x)

und Quotient

\frac{g (x)}{p (x)}

überlagern - ein ziemlich leicht durchschaubarer Taschenspielertrick angesichts der Definition von

g

. :-D)

Das ist reinster Hokus-Pokus. Und es hilft jedenfalls nicht erkennbar, Stammfunktion

F

bei allgemeinem

f

zu ermitteln. Was bei Polynomfunktionen

f

ja auch kein Problem sein sollte - ich hätte da andere Beispielfunktionen

f

zur Demonstration einer angeblich neuen Integrationsmethode erwartet.

Bertas aktiv_icon

15:40 Uhr, 08.11.2023

verstehe ich nicht, 2. soll doch gelten, es soll als Ergebnis die Errorfunktion ermittelt werden, sind die dafür gesuchten Polynome für

a (x), b (x)

und

c (x)

beliebig....?

HAL9000

15:47 Uhr, 08.11.2023

Schreib doch mal geschlossen auf, was du WIRKLICH willst:

1) Im Eröffnungsbeitrag war nur von der Gleichung die Rede (von KEINER Errorfunktion), später garniert von Werten wie

a = \frac{57}{25}

b = - \frac{71}{75}

und

c = - \frac{19}{25}

, so dass man wirklich meinen konnte, du meinst KONSTANTE Koeffizienten.

2) Als ich darauf hinwies, dass das nicht geht, wurden aus den Konstanten plötzlich gebrochen rationale Funktionen.

3) Als ich unter diesen veränderten Bedingung darauf hinwies, dass das zu keiner eindeutigen Lösung führt, kommst du mit der Errorfunktion an.

Blankes Chaos. Definiere dein Problem mal richtig.

------------------------------------------------------------------------------------

Gut, halten wir mal fest:

Du betrachtest

f (x) = e^{- x^{2}}

und dessen Stammfunktion

F

(die so bezeichnet nicht eindeutig ist, nehmen wir mal an unter der Zusatzbedingung

F (0) = 0

) und stellst jetzt den Ansatz auf

\frac{f (x) \cdot f ´ (x)}{f ´ ´ (x)} \cdot s (x) = F (x)

Jetzt bist du der Meinung, dass das mit einer gebrochen rationalen Funktion

s

möglich ist, und da sage ich dir auf den Kopf zu: Nein, bzw. allenfalls approximativ auf einem eingegrenzten Intervall.

Rechnen wir mal nach:

f ´ (x) = - 2 x e^{- x^{2}}

f ´ ´ (x) = (4 x^{2} - 2) e^{- x^{2}}

\frac{f (x) \cdot f ´ (x)}{f ´ ´ (x)} = - \frac{2 x}{4 x^{2} - 2} e^{- x^{2}}

und jetzt soll ein gebrochen rationales

s (x) = \frac{4 a x^{4} - 4 b x^{2} + c}{4 x^{4} + 1}

(wo immer das auch herkommen mag) existieren so dass

- \frac{2 x}{4 x^{2} - 2} e^{- x^{2}} \cdot s (x) = F (x) (*)

für alle

x

gilt??? Also dann doch mit (von

x

unabhängigen) Konstanten

a, b, c

?

Ich vermute mal, die Ableitung von (*) nach

x

hat dann auf diese ominöse Gleichung im Eröffnungsbeitrag geführt, die wie erläutert aber keine Lösung

a, b, c

besitzt.

Wie auch nicht anders zu erwarten war, denn es ist eine ziemliche Hybris anzunehmen, dass Generationen von Mathematikern jahrhundertelang die dann ja mögliche geschlossene Darstellung von

\int e^{- x^{2}} d x

nicht gefunden haben - du dann aber doch... :-)

Mir ist auch überhaupt nicht klar, was du dir von diesem immer wieder auftauchenden Faktor

\frac{f (x) \cdot f ´ (x)}{f ´ ´ (x)}

versprichst. Im Fall der Errorfunktion hat der beispielsweise bei

x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Polstellen, was für den obigen Ansatz unangenehme Auswirkungen dort hat (sprich allein deswegen Unbrauchbarkeit).

Bertas aktiv_icon

19:37 Uhr, 08.11.2023

F (x)

muß noch Differenziert werden, so daß noch

s' (x)

(Produktregel) unter anderem entsteht und dann kann ich den von mir genannten Ansatz für

s (x)

machen, da sich

e^{- x^{2}}

herauskürzt aus der Ausgangsgleichung.

HAL9000

20:59 Uhr, 08.11.2023

Ist soweit klar, aber es entsteht eine Polynomgleichung mit dann doch Konstanten

a, b, c

, die aber eben keine Lösung hat. Netter Versuch, aber aussichtslos.

Bertas aktiv_icon

02:16 Uhr, 09.11.2023

Wenn ich die von mir letztendlich ermittelte Polynomgleichung mit

e^{- x^{2}}

dann Ableite, stimmen schon mal die Potenzen der einzelnen Glieder, nur die Beträge sind noch nicht in Ordnung....., es soll ja letztendlich so etwas wie:

\frac{123456 x^{12} + 12345 x^{10} + ... ...}{123456 x^{12} + 12345 x^{10} + ... ...} \cdot e^{- x^{2}} = e^{- x^{2}}

herauskommen...

sollten

a, b, c

normale Konstanten sein, wäre diese Gleichung nicht lösbar....., es müssen Polynome sein....

HAL9000

07:34 Uhr, 09.11.2023

Hast du denn dann auch bei der Ableitung des Polynoms

s (x) = \frac{a \cdot 4 x^{4} - b \cdot 4 x^{2} + c}{4 x^{4} + 1}

berücksichtigt, dass die darin enthaltenen

a, b, c

dann Funktionen von

x

sind??? Die Ableitung ist dann nämlich NICHT mehr

s ´ (x) \overset{?}{=} \frac{(a \cdot 16 x^{3} - b \cdot 8 x) (4 x^{4} + 1) - (a \cdot 4 x^{4} - b \cdot 4 x^{2} + c) 16 x^{3}}{{(4 x^{4} + 1)}^{2}}

vielmehr tauchen in der Ableitung dann Terme mit

a ´, b ´, c ´

auf. Du kannst nicht ableiten unter der Prämisse, dass

a, b, c

Konstanten sind und dann NACHTRÄGLICH sie plötzlich zu Funktionen umdeklarieren und dabei aber trotzdem so tun, als wäre die anfänglich berechnete Ableitung richtig.

Das Pferd ist tot - höre besser auf, es zu reiten. Du kriegst die Errorfunktion nicht komplett in geschlossener Darstellung hin. Approximativ ist doch einiges drin, z.B. kann man schlicht die Potenzreihe

f (x) = e^{- x^{2}} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k!} x^{2 k}

integrieren und bekommt

F (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k + 1) \cdot k!} x^{2 k + 1}

.

Für betragskleine

x

kommt man mit moderat vielen Gliedern schon eine ganz gute Genauigkeit. Für sehr große

x

wiederum kann man den "Integralrest" ganz gut über die für alle

x > 0

geltende Einschachtelung

\frac{x}{2 x^{2} + 1} \cdot e^{- x^{2}} < \int_{x}^{\infty} e^{- t^{2}} d t < \frac{1}{2 x} \cdot e^{- x^{2}}

abschätzen.

Bertas aktiv_icon

09:39 Uhr, 09.11.2023

natürlich habe ich berücksichtigt, daß es nicht

a,

sondern

a (x)

ist, habe ja einen Ableitungsrechner im Internet schlußendlich benutzt
meine Zuordnung mit den Potenzen ist richtig, habe für beide Lösungsansätze nach der Ableitung mit den ermittelten

a (x), ...

. als Ergebnis die falschen Werte, jedoch richtigen Potenzen erhalten....
ich hoffe nicht, daß das Pferd tot ist.....
übrigends lässt sich die Errorfunktion auch so darstellen:
http//www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Sinusfunktion.html
von mir ermittelt......

HAL9000

09:42 Uhr, 09.11.2023

> natürlich habe ich berücksichtigt, daß es nicht a, sondern a(x) ist,

Anhand der oben vorgenommenen Rechnungen nehme ich dir das nicht ab.

Bertas aktiv_icon

09:44 Uhr, 09.11.2023

ich habe im Internet einen Ableitungsrechner benutzt, oder hätte ich dies per Hand lösen sollen....??????????????????????????????????????????????????????

HAL9000

09:50 Uhr, 09.11.2023

Merkst du denn nicht, dass sich die Katze in den Schwanz beißt? Du leitest

- \frac{2 x}{4 x^{2} - 2} e^{- x^{2}} \cdot s (x) = F (x)

nach

x

ab, schön, dann bekommst du nach Streichung des Faktors

e^{- x^{2}}

irgend sowas wie

r_{1} (x) \cdot s (x) + r_{2} (x) \cdot s ´ (x) = 1

mit irgendwelchen berechenbaren gebrochen rationalen Funktionen

r_{1}, r_{2}

und einem

s (x)

, welches die Parameterfunktionen

a, b, c

enthält, und einem

s ´ (x)

, welches neben

a, b, c

auch noch deren Ableitungen

a ´, b ´, c ´

enthält. Wie bitte willst du jetzt daraus

a, b, c

ermittelt haben???

Noch konkreter: Die Ableitung deines Ansatzes für

s (x)

ist

s ´ (x) = \frac{(a ´ \cdot 4 x^{4} + a \cdot 16 x^{3} - b ´ \cdot 4 x^{2} - b \cdot 8 x + c ´) (4 x^{4} + 1) - (a \cdot 4 x^{4} - b \cdot 4 x^{2} + c) 16 x^{3}}{{(4 x^{4} + 1)}^{2}}

Wo findet das Berücksichtigung in deiner Rechnung?

Bertas aktiv_icon

10:03 Uhr, 09.11.2023

durch

r 1 (x)

Dividieren, so daß

s (x)

allein dasteht und das Ergebnis muß dann ein Ausdruck für

\frac{1}{r 1 (x)}

sein, die Polynome müssen so gewählt werden, daß

\frac{1}{r 1 (x)}

als Ergebnis dieser Gleichung erscheint...,

s (x)

ist dann ein Vielfaches von

\frac{1}{r 1 (x)},

der Nenner von

\frac{1}{r 1 (x)}

ist auch der Nenner von

s (x), s (x)

wird ja addiert mit

s' (x)

usw., nur der Zähler ist variabel

HAL9000

10:07 Uhr, 09.11.2023

Ok, mit Einsicht ist bei dir wohl nicht zu rechnen. Damit mache ich es jetzt kurz:

Berechne mit deiner Methode eine Stammfunktion von

e^{- x^{2}}

und nenne sie hier - ich leite sie dann zur Kontrolle ab und sehe, ob wirklich

e^{- x^{2}}

herauskommt. Bis dahin: Tschüss.

Bertas aktiv_icon

10:10 Uhr, 09.11.2023

Hurra, ich habe es geschafft...., ich wünsche Dir einen schönen Tag und melde mich, sollte ich das Ergebnis haben! Bert Wichmann!

HAL9000

10:13 Uhr, 09.11.2023

> und melde mich, sollte ich das Ergebnis haben!

Das heißt dann nie, oder aber mit falschem Ergebnis. ;-)

Bertas aktiv_icon

10:16 Uhr, 09.11.2023

das ist indiskutabel, sollte ich "so kurz vor dem Ziel" scheitern, werde ich dies zugeben und mich auch noch einmal melden....., das bin ich mir selbst schuldig

HAL9000

15:09 Uhr, 09.11.2023

Eine viel aussichtsreichere Beschäftigung:

www.onlinemathe.de/forum/Unmoeglichkeit-der-Darstellung-der-Errorfunktion

Ich lass das mal noch ein Weilchen offen - wenn bis morgen keiner eine Lösung dort postet, mache ich es selbst.

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