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(Unmöglichkeit der) Darstellung der Errorfunktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Errorfunktion, Stammfunktion, teilerfremde Polynome

HAL9000

12:24 Uhr, 09.11.2023

In Hinblick auf diesen Thread

www.onlinemathe.de/forum/Koeffizientenvergleich-bei-Polynomen-3

und die (trotz Warnungen) hoffnungslosen unermüdlichen Bemühungen des Fragestellers dort stelle ich mal folgende Behauptung auf:

Es gibt keine Stammfunktion

F

von

f (x) = e^{- x^{2}}

, welche die Struktur

F (x) = \frac{p (x)}{q (x)} e^{- x^{2}}

mit Polynomfunktionen

p, q

aufweist. Dabei darf man o.B.d.A. annehmen, dass die Polynome

p, q

teilerfremd sind (ansonsten könnte man den gemeinsamen Polynomteiler kürzen).

Viel Spaß beim Beweis! (durch die einengende Vorgabe der Stammfunktionsstruktur nicht so schwer)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bertas aktiv_icon

15:39 Uhr, 09.11.2023

dem Beweis vertraue ich nicht,

F (x)

lässt sich auch so, von mir ermittelt (leider nur iterativ), darstellen: www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Sinusfunktion.html

e^{- x^{2}}

an der x-Achse gespiegelt und 4 Konstanten aus Wertepaaren der Errorfunktion beigefügt, ergibt ebenfalls die Errorfunktion, wenn auch nur iterativ

HAL9000

15:45 Uhr, 09.11.2023

Ob du dem vertraust, interessiert mich inzwischen überhaupt nicht mehr: Wichtig ist, dass Leute mit Sachverstand den Beweis verstehen und dann akzeptieren. Mit "Vertrauen" hat das ganze nämlich überhaupt nichts tun, denn Kontrolle ist besser.

> wenn auch nur iterativ

Du meinst "approximativ", iteriert wird bei deiner ominösen Formel (die allenfalls auf einem sehr engen

x

-Bereich die Errorfunktion leidlich gut approximieren mag) erkennbar nichts. Jetzt also plötzlich nur noch approximativ, obwohl du im anderen Thread steif und fest auf die exakte Berechnung der Stammfunktion beharrt hattest. Ist das dann jetzt ein Rückzugsgefecht "war ja nie exakt gemeint, das hast du falsch verstanden" ? Approximative Methoden zur Berechnung gibt es ohnehin schon genug, sei es über Taylorreihe oder angepasst auch besseres.

Bertas aktiv_icon

21:27 Uhr, 09.11.2023

habe die Konstanten iterativ von einem Rechner ermitteln lassen, mehrere Rechendurchgänge, dies ist doch iterativ, oder
wenn ich die andere Gleichung lösen kann, habe ich zwei Möglichkeiten die Errorfunktion darzustellen und Ihr wollt mir Einreden, es gibt da keine Möglichkeit....-"Schachmatt" bin da nicht ich, was ich gern spiele, übrigends...
Mathematik ist nicht nur Logik.....!
Ich möchte mich aber nicht streiten mit Euch.....!!!!!!!
Einen schönen Abend, Bert Wichmann!

HAL9000

21:30 Uhr, 09.11.2023

Iterativ würde ich es nennen, wenn man den Funktionswert dann in mehreren Iterationen ermittelt. Eine iterative VORBERECHNUNG von dann festen Konstanten ist was anderes.

> Ihr wollt mir Einreden, es gibt da keine Möglichkeit..

Nein, du bist hier angetreten mit der Behauptung, das Integral der Errorfunktion explizit exakt auflösen zu können - nur da habe ich gesagt, es gibt keine Möglichkeit, und GENAU DARUM geht es in diesem Thread hier! Nun ruderst du seit einiger Zeit zurück mit dem Wendemanöver, dass es dir ja nur um eine Approximation der Errorfunktion geht. Außerdem bist du einige male hin- und hergeschwommen mit den Konstanten, und dann wieder Nichtkonstanten

a, b, c

im Ansatz - ein einziges verrücktes Chaos. Der Bitte um Klarstellung im anderen Thread bist du nie richtig nachgekommen. Insgesamt eine ziemlich scheußliche Darbietung von Ausreden und Ablenkungsmanövern.

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Bringen wir mal noch das anfangs gestellte Problem zu Ende, denn du hast dich hier in den Thread reingedrängt ohne Konstruktives zur Problemlösung beizutragen.

Beweis (indirekt): Wir nehmen an, dass

F

doch eine solche Darstellung besitzt. Leiten wir diese nun ab und formen das Ergebnis äquivalent um.

e^{- x^{2}} = \frac{p ´ q - p q ´}{q^{2}} e^{- x^{2}} - 2 x \frac{p}{q} e^{- x^{2}}

q^{2} = p ´ q - p q ´ - 2 x p q

p q ´ = q (p ´ - q - 2 x p)

Der Teilerfremdheit von

p, q

wegen folgt dann aber

q ∣ q ´

, was wegen grad(q) > grad(q´) nur für konstante Polynome

q

klappt, also o.B.d.A.

q = 1

mit dann

q ´ = 0

. Es folgt

2 x p = p ´ - 1

, was für Polynome

p

unerfüllbar ist:

Links steht ein Polynom vom Grad grad(p)+1, rechts eins vom Grad < grad(p), Widerspruch.

KartoffelKäfer aktiv_icon

22:34 Uhr, 09.11.2023

Angenommen, es gibt solche Polynome

p, q

.

Dann gilt

e^{- x^{2}} = (\frac{p (x)}{q (x)} e^{- x^{2}})' = (\frac{p' (x) q (x) - p (x) q' (x)}{q {(x)}^{2}} - 2 x \frac{p (x)}{q (x)}) e^{- x^{2}}

und somit

\frac{p' (x)}{q (x)} - \frac{p (x) q' (x)}{q {(x)}^{2}} - 2 x \frac{p (x)}{q (x)} = 1

\Leftrightarrow p' (x) q (x) - p (x) q' (x) = q {(x)}^{2} + 2 x p (x) q (x)

für alle

x \in R

.

Hat

p

Grad

n

und

q

Grad

m,

folgt daraus

max {(n - 1) m, n (m - 1)} = max {m^{2}, n m + 1}

.

Für

n \geq m

gilt aber

max {(n - 1) m, n (m - 1)} < n m + 1 = max {m^{2}, n m + 1}

und für

n < m

zudem

max {(n - 1) m, n (m - 1)} < m^{2} = max {m^{2}, n m + 1}

.

Also existieren solche Polynome

p, q

nicht.

Und übrigens: Es heißt "übrigens", nicht "übrigends".

HAL9000

23:53 Uhr, 09.11.2023

@KartoffelKäfer

Du scheinst davon auszugehen, dass Summe/Differenz zweier Polynome als Grad immer das Maximum der Grade der beiden beteiligten Polynome hat? Bei gleichem Grad ist es durch Auslöschung aber auch möglich, dass der Polynomgrad sinkt, von daher bin ich äußerst skeptisch, was deine Polynomgrad-Kalkulationen betrifft.

KartoffelKäfer aktiv_icon

02:17 Uhr, 10.11.2023

Stimmt, Danke.

Dein Beweis ist eh stringenter.

Meiner muss noch ein wenig aufwendiger gestaltet werden,

z . B

. ist für die Gradgleichung

n, m > 0

vorauszusetzen (Wegen Nullpolynom Grad

- \infty)

und sich um die anderen Fälle gesondert zu kümmern. Sei also

n, m > 0

.

Bei

p' q - p q' = q^{2} + 2 x p

kann Auslöschung auf der linken Seite genau dann auftreten, wenn

n (m - 1) = m (n - 1) \Leftrightarrow n = m,

und auf der rechten Seite genau dann, wenn

m^{2} = n m + 1 \Leftrightarrow n = 0, m = 1

(ausgeschlossen).

Also kann Auslöschung nur auf der linken Seite vorkommen,

wodurch die Gradgleichung aber nur umso deutlicher unerfüllbar wird.

Die Fälle

n = m = 0

und

n > 0, m = 0

und

n = 0, m > 1

kann man durch schief Gucken verleugnen und

für

n = 0, m = 1

sei

p (x) := a

und

q (x) := b x + c

mit

a, b, c \in R, a, b \neq 0

.

Es folgt

- a b = {(b x + c)}^{2} + 2 x a (b x + c)

\Leftrightarrow - a b = b^{2} x^{2} + 2 b c x + c^{2} + 2 a b x^{2} + 2 a c x

\Leftrightarrow b^{2} + 2 a b = 0, 2 b c + 2 a c = 0, c^{2} + a b = 0,

woraus

c \neq 0

und somit

a = b

und

a = - \frac{b}{2}

folgt, was unmöglich ist.

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