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Körperhomomorphismus

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper

anonymous

20:57 Uhr, 31.01.2020

Hallo
ich hänge eine Aufgabe und die Lösung an.

mir ist das Vorgehen noch nicht zu

100 %

klar.

Klar ist, dass das Bild eines Vektorraumhomomorphismus durch die Basisvektoren von Q

[

Wurzel2] bestimmt werden...

Am Ende schaut man auf was 1 abgebildet wird und auf was Wurzel 2 abgebildet wird...

Was ist das genaue Ziel ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

21:11 Uhr, 31.01.2020

Hallo,

seufz...

Hast du meine Antwort in www.onlinemathe.de/forum/Anzahl-Q-Homomorphismen-bestimmen von 12:52 Uhr, 31.01.2020 gelesen?
Dort schreibe ich all diese Grundlagen auf.

> mir ist das Vorgehen noch nicht zu 100% klar.

Welches denn?

Offenbar sind folgende Dinge nachzuweisen:
(i) Zeigen, dass

φ : x + y \sqrt{2} \mapsto x - y \sqrt{2}

Körperhomomorphismus ist.

Klar, was da gemacht wird?
Wenn nicht, lies unter de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rperhomomorphismus , was für Eigenschaften geprüft werden müssen und wie das in deiner Mitschrift passiert.

(ii) Zeigen, dass id und

φ

die einzigen Körperhomomorphismen sind.
Dazu habe ich in obigem posting etwas geschrieben.

Wichtig ist, dass

\sqrt{2}

nur auf eine Nullstelle des Minimalpolynoms von

\sqrt{2}

(über

ℚ

) abgebildet werden kann.

Damit bleiben für

\sqrt{2}

nur die Bilder

+ \sqrt{2}

, womit die Abbildung alle Basiselemente festlässt und damit insgesamt die Identität ist, oder

- \sqrt{2}

, was eben zur Abbildung

φ

führt.

Das wird in deiner Mitschrift ausgeführt.

Mfg Michael

anonymous

14:15 Uhr, 01.02.2020

Warum kann Wurzel 2 nur auf eine Nullstelle des MiPo's abgebildet werden ?

Was hat das MiPo mit dem Bild der Abbildung zutun ?

ermanus aktiv_icon

15:00 Uhr, 01.02.2020

Hallo,
das hat dir doch Michael mittlerweile zig-fach vorgeführt.
Sei

L = K (α)

μ

das Minimalpolynom von

α

über

K

,
etwa

μ = X^{n} + c_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + c_{1} X + c_{0}

mit

c_{i} \in K

für

i = 0, \dots, n - 1

.
Dann gilt

α^{n} + c_{n - 1} α^{n - 1} + \dots + c_{1} α + c_{0} = 0

.
Wenn man auf diese Gleichung einen

K

-Automnorphismus

φ

"loslässt"
folgt:

0 = φ (0) = φ (α^{n} + c_{n - 1} α^{n - 1} + \dots + c_{1} α + c_{0}) =

= φ (α^{n}) + φ (c_{n - 1}) φ (α^{n - 1}) + \dots + φ (c_{1}) φ (α) + φ (c_{0}) =

= (φ (α))^{n} + c_{n - 1} (φ (α))^{n - 1} + \dots + c_{1} φ (α) + c_{0}

.
Also ist

μ (φ (α)) = 0

, d.h.

φ (α)

ist eine Nullstelle
des Minimalpolynoms von

α

.
Aber das musst du doch alles in deinen Unterlagen stehen haben ...
Gruß ermanua

anonymous

11:51 Uhr, 02.02.2020

Ahh okay
jetzt habe ich es verstanden.

φ (0) = 0

das gilt doch in jedem Körperhomomorphismus oder ?

und das zum Beispiel phi(cn-1)=cn-1 ist weiß man weil der Körperhomomorphismus auch insbesondere ein Vektorraumhomomorphismus ist oder ?

Wir haben zu dem Zeitpunkt der Bearbeitung dieser Aufgabe noch nicht über Automorphismen gesprochen

ermanus aktiv_icon

12:20 Uhr, 02.02.2020

Hallo,
ein Körperautomorphismus ist ein bijektiver Körperhomomorphismus
eines Körpers in sich ("auto").
Dass die Elemente

c_{i}

in sich überführt werden, liegt daran,
dass wir einen

K

-Homomorphismus haben, der ja auf dem Grundkörper
die Identität sein soll.
Aber du kannst natürlich auch mit der K-Linearität
argumentieren, da die

c_{i}

im Skalarkörper liegen:

φ (c_{i} α^{i}) = c_{i} φ (α^{i})

Gruß ermanus

anonymous

18:05 Uhr, 02.02.2020

DANKE :-)

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