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Kombinatorik -Denkfehler

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

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00:36 Uhr, 17.09.2019

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Ein Getränkehersteller bietet den Kunden an 5 Fruchtsorten in Ihr Getränk zu mischen. Insgesamt kann man aus

12

Sorten wählen (wobei auch eine Sorte mehrfach verwendet werden darf). Wie viele verschiedene Getränke sind möglich.

Es handelt sich hier ja um mit Zurücklegen ohne Reihenfolge.
Dann einfach in die Formel einsetzen und fertig.

Ich habe mir aber (ohne Formel) folgendes überlegt:
- mit zurücklegen und mit Reihenfolge sind es ja

12^{5}

Möglichkeiten.
-nun spielt aber die Reihenfolge der 5 ausgewählten Früchte keine Rolle

d . h

. ich dividiere durch

5!

Dann müsste ich doch eigentlich auch die Anzahl an Getränkesorten erhalten.
Leider stimmt das Ergebnis nicht mit dem der Formel überein.

D . h

. ich habe irgendwo einen Denkfehler gemacht. Leider fällt er mir nicht ein.

Hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
:-)

Bummerang

03:52 Uhr, 17.09.2019

Hallo,

Denkfehler sind nicht die einzigen Fehler, die man machen kann! Es gibt auch Rechenfehler! Präsentiere foch hi Deine benutzen Formeln und Rechenergebnisse und irgendjemand findet schon den Fehler!

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06:17 Uhr, 17.09.2019

Der Sachverhalt ist unklar. Einmal ist von 5 Sorten, dann von

12

die Rede.
Wie soll man sich das vorstellen? Was heißt ANBIETEN? Wie kann man aus

12

auswählen, wenn er nur 5 anbietet?

anonymous

07:37 Uhr, 17.09.2019

Die Aufgabe ist eigentlich schon zu verstehen, bis auf eine Unsicherheit.
Es stehen

12

Fruchtsorten zur Wahl.
Hieraus können 5 Fruchtsorten ausgewählt werden.

Meine Unsicherheit besteht nur darin, ob genau 5 Fruchtsorten ausgewählt werden müssen, oder ob nicht auch

4, 3, 2

oder 1 Fruchtsorten genügen könnte, eine neue Mischung zusammenzustellen.
Nehmen wir mal an, dass genau 5 Fruchtsorten gewählt werden sollen.

Dann ist
"Es handelt sich hier ja um mit Zurücklegen ohne Reihenfolge."
richtig.
Nur dein Vorgehen ist falsch.

"Es handelt sich hier ja um mit Zurücklegen ohne Reihenfolge."
ist doch eine Kombination mit Wiederholung.
Schau doch nochmals in der Formelsammlung nach, wie die zugehörige Formel lautet.
Sie ist nicht (Variation geteilt durch Anzahl Reihenfolgen).

Roman-22

10:54 Uhr, 17.09.2019

>

-nun spielt aber die Reihenfolge der 5 ausgewählten Früchte keine Rolle

d . h

. ich dividiere durch

5!

Und genau darin liegt der Fehler. Es handelt sich um eine Auswahl MIT WIEDERHOLUNG und da müsstest du eben auch die Permutation mit Whg wählen (was so leicht nicht direkt geht).
Wenn der Kunde in sein Getränk dreimal Erdbeere und zweimal Traube mischen lässt, dann ist die Anzahl der möglichen Anordnungen nicht

5! = 120,

sondern

\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10

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21:03 Uhr, 17.09.2019

Hallo,

erstmal danke für eure Antworten.
Ich habe die Aufgabe auch nur so gegeben. Aber ich denke es müssen immer 5 Früchte gewählt werden.

D . h

. wenn ich nur Melone möchte, wähle ich 5 mal Melone.

Vielleicht noch bildlicher:
Der Kunde darf aus

12

Fruchtsorten (von denen es unendlich viele Stückzahlen gibt) 5 Früchte wählen (auch mehrfach) die der Hersteller dann in den Mixer wirft und klein mixt.

Mein Denkfehler hat Roman aber bereits gefunden: Wenn ich

z . B

. 5 mal Melone wähle, dann gibt es keine

5!

viele Anordnungsmöglichkeiten, sondern nur eine (nämlich Melone,M,M,M,M).

D . h

. durch

5!

zu teilen wäre falsch.

anonymous

18:57 Uhr, 19.09.2019

Hallo,

Anzahl der echt verschiedenen Getränke

= \frac{(12 + 5 - 1)!}{(12 + 5 - 1 - 5)! \cdot 5!} = \frac{16!}{11! \cdot 5!} = 4368

.

Erläuterung an einem Beispiel:

1001100010000100

bedeutet 1*Obst

1,

2*Obst

3,

1*Obst

6,

1*Obst

10

und kann kombinatorisch

z . B

. als die Anzahl der Möglichkeiten,

5 Einsen über

16

Stellen zu verteilen, gedeutet werden.

Noch ein paar Beispiele, sagen wir 3*Obst 1 und 2*Obst

12

1110000000000011

und 2*Obst 2 und 3*Obst

11

0110000000001110

.

Man sieht, dass eine führende 0 für die erste Sorte nicht notwendig ist.

\frac{12^{5}}{5!}

wird dem nicht gerecht, denn

5!

Permutationen gibt es nur

für 5 verschiedene Sorten (

\frac{12!}{7!}

viele),

bei

12^{5}

sind aber auch alle anderen dabei,

z . B

. die mit nur einer Sorte fünffach,

für die es jeweils nur eine einzige Permutation gibt...

anonymous

19:24 Uhr, 19.09.2019

www.onlinemathe.de/forum/Binomielle-paarweise-Auswahl-von-Eiskugeln

Hier findest du längliche Rechnungen zu Fuß ohne Formel

zu einem analogen Problem, 4 Kugeln aus 8 Sorten Eis nämlich.

Die dort zu Fuß berechneten

330

echten Eis findet man

natürlich einfacher durch

\frac{(8 + 4 - 1)!}{(8 + 4 - 1 - 4)! \cdot 4!} = \frac{11!}{7! \cdot 4!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 11 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 55 \cdot 6 = 330

anonymous

00:59 Uhr, 20.09.2019

Eine Vorgehensweise ohne Formel:

Alle Summen gleich 5 von natürlichen Summanden größer 0 bestimmen:

1 + 1 + 1 + 1 + 1

2 + 1 + 1 + 1

3 + 1 + 1

2 + 2 + 1

4 + 1

3 + 2

5

Jede Summe steht nun für jeweils die Menge aller Saftmischungen,
deren Sortenvielfalt der Anzahl der Summanden im Mischungsverhältnis
der Summanden entspricht.
Wie man nun die Kardinalitäten dieser Mengen findet,
sei am Beispiel

2 + 2 + 1

für die Menge aller Cocktails mit drei Sorten
im Verhältnis

2 : 2 : 1

vorgelebt:

\frac{12!}{9! \cdot 3!}

Möglichkeiten, drei Sorten zu wählen

\cdot \frac{3!}{2!}

Möglichkeiten,
die Sorten auf das Mischverhältnis zu verteilen.

Insgesamt:

1 + 1 + 1 + 1 + 1 : \frac{12!}{7! \cdot 5!} \cdot \frac{5!}{5!} = 792

2 + 1 + 1 + 1 : \frac{12!}{8! \cdot 4!} \cdot \frac{4!}{3!} = 1980

3 + 1 + 1 : \frac{12!}{9! \cdot 3!} \cdot \frac{3!}{2!} = 660

2 + 2 + 1 : \frac{12!}{9! \cdot 3!} \cdot \frac{3!}{2!} = 660

4 + 1 : \frac{12!}{10! \cdot 2!} \cdot 2! = 132

3 + 2 : \frac{12!}{10! \cdot 2!} \cdot 2! = 132

5 : \frac{12!}{11! \cdot 1!} \cdot 1! = 12

Also

12 + 2 \cdot 132 + 2 \cdot 660 + 1980 + 792 = 4368

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12:47 Uhr, 20.09.2019

Hi, super Erklärung.

Vielen Dank für deine Mühe!

anonymous

14:14 Uhr, 20.09.2019

Der Vollständigkeit halber:
Die Formel für die Kombination mit Wiederholung steht in jeder Formelsammlung:
Bei

n

Elementen in der Urne und k-facher Ziehung gilt:
Anzahl Kombinationen

= (\begin{matrix} n + k - 1 \\ k \end{matrix})

anonymous

17:08 Uhr, 20.09.2019

Ja, das ist sie, in voller Pracht.
Bei meiner angedeuteten Erklärung oben habe ich so'n
bisschen Satzsalat fabriziert, 'tschuldigung - ist mehr so
zwischen den Zeilen zu lesen, das Ganze...
Hier gibt's die Formel auch nochmal zusammen mit
diesem "01-Beweis", dort aber mit

N' s

und

K' s . .

.

de.m.wikipedia.org/wiki/Kombination_(Kombinatorik)#Kombination_mit_Wiederholung

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