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Komplexe Wurzel berechnen z³=-8

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

Phystudi aktiv_icon

09:59 Uhr, 14.11.2016

Guten Morgen,

ich verstehe leider die komplexen Wurzeln noch nicht so ganz und hoffe, dass mir jemand da weiterhelfen kann.

Beispielweise habe ich: z³= $- 8$
Und ich soll diese komplexe Wurzel berechnen. Im Netz gibt es einige Formeln zu diesem Thema, aber das Minus vor der 8 irritiert mich etwas. Welche Formel benutzt man da bzw. wie geht man vor?

Danke & Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

10:37 Uhr, 14.11.2016

.
" aber das Minus vor der 8 irritiert mich "

hm .. mache dir klar, dass zu jedem Punkt in der GaussEbene ein Betrag $u n d$ ein Winkel gehört

Beispiel :
zu $+ 8 \to | + 8 | = + 8 .$ . und $φ = 0 + 2 k \cdot π \Rightarrow ... .$ . $8 = + 8 \cdot e^{i \cdot (2 k \cdot π)} ...$ . $k \in Z$

überlege nun selbst, wie es dann mit $- 8$ aussieht .. Welcher Betrag und welcher Winkel gehört dazu ?

$\to$ ?
jetzt alles klar?
,

Phystudi aktiv_icon

12:45 Uhr, 14.11.2016

"+8→∣∣+8∣∣=+8.. und φ=0+2k⋅π⇒..... 8=+8⋅e^(i⋅(2k⋅π)).... k∈Z"

dh. $- 8 \to$ ∣-8∣ $= + 8$ und φ=0+2k⋅π ⇒ $...$ . $- 8 = 8 \cdot e^{i \cdot (2 k \cdot π)}$

was mir auch noch unklar ist, was will man eig genau mit k? Das hat ja etwas mit dem Kreis zu tun, also wie oft man eine Umdrehung macht. Oder verstehe ich das falsch?

Gruß

Respon

12:57 Uhr, 14.11.2016

Eine Lösung ist sofort ersichtlich $: z_{1} = - 2$ ( Betrag $r = 2;$ Argument $φ = π)$
Die Lösungen bilden ein gleichseitiges Dreieck mit dem Umkreisradius 2.
$\Rightarrow$
$z_{2}$ hat ebenfals den Betrag 2 und das Argument $π - \frac{2 \cdot π}{3}$
$z_{3}$ hat ebenfalls den Betrag 2 und das Argument $π + \frac{2 \cdot π}{3}$

$. .$ . und jetzt in die gewüschte Form bringen.

rundblick aktiv_icon

13:02 Uhr, 14.11.2016

.
" dh. -8→ ∣-8∣ $= + 8$ und φ=0+2k⋅π ⇒ " $... ... ... ...$ . NEIN !

Der Punkt $(- 8, 0)$ liegt auf der negativen reellen Achse .

Zu solchen Punkten ist der Winkel 180°
$\to$ Winkel werden immer von der positiven Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen
(mach dir das zB im Einheitskreis klar)

also: $: - 8 = | - 8 | \cdot e^{i \cdot (π + 2 k \cdot π)} ...$ . für $k \in Z$

und damit zu deiner Aufgabe: $z^{3} = - 8 . .$ . $\Rightarrow z =$ ?

also: $z^{3} = 8 \cdot e^{i \cdot (π + 2 k \cdot π)}$
$\Rightarrow$

$z_{k} = 2 \cdot e^{i \cdot (\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot k)} ... ... ...$ . für $k = 0,1,2$

fertig

schreibe nun noch selbst die drei Lösungen in Normalformdarstellung auf :
$\to . .$ .

"Oder verstehe ich das falsch?"

es ist genau so! $\to$ wenn du einmal voll durchdrehst bist du ja wieder beim gleichen Punkt
wenn dir nicht schwindelig wird , darfst du das mit $k \in Z$ beliebig oft machen

und da du zB für $\to$ die 3 Lösungen von $\to z^{3} = - 8$ diese Durchdrehwinkel durch drei teilen musst
wirst du dann für $k = 0,1,2$ ..(oder für $k = 17$ . $18,19$ usw) genau drei Winkel bekommen,
die (bei $17,18,19$ :vereinfacht $\to 2,0,1)$ im Intervall 0 bis $2 π$ herumliegen..

kurz: kubiche Gleichungen dieser Art haben in $C$ immer genau drei verschiedene Lösungen

ok?

"Die Lösungen bilden ein gleichseitiges Dreieck"

genauer: die bilden kein ganzes Dreieck - sondern
.. sie sind schlicht nur die drei Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks

$/ / / /$
Wau!
und nachher funkt noch ein Typ herum, der zwar glaubt zu wissen, was ich sagen wollte,
dir aber unbekümmert "reele" Zahlen verkauft... viel Spass!
.

funke_61 aktiv_icon

13:14 Uhr, 14.11.2016

"was mir auch noch unklar ist, was will man eig genau mit k? Das hat ja etwas mit dem Kreis zu tun, also wie oft man eine Umdrehung macht. Oder verstehe ich das falsch?"

ja genau, so stelle ich mir das auch immer vor.
Wenn man in
$e^{i \cdot 2 k π} k \in ℤ$
für $k$ ganze Zahlen einsetzt, dann ergibt sich immer eine reele Zahl auf der positiven reelen Halbachse:
$e^{i \cdot 2 k π} = 1$
bzw.
$r e^{i \cdot 2 k π} = r$

Nun "addiere" noch den Winkel $π$ hinzu, und Du erhältst damit
$e^{i \cdot (π + 2 k π)} = - 1$ für jedes $k \in ℤ$
bzw.
$r e^{i \cdot (π + 2 k π)} = - r$
und damit die hier gewünschte negative reele Zahl (auf der negativen reelen Halbachse) . . .
Unter anderem darauf wollte Dich rundblick hinweisen.
;-)

Phystudi aktiv_icon

14:31 Uhr, 14.11.2016

danke soweit für euer Engagement!

Entschuldigt, dass ich da wieder etwas blöd fragen muss, aber ich bin jetzt etwas verwirrt.

Also ich gehe mal von dem aus, was Rundblick gesagt hat und fasse zusammen, was ich verstanden habe. Bitte korrigiert mich, wenn etwas falsch sein sollte.

$z_{k} = 2 \cdot e^{i (\frac{π}{3} + \frac{2 \cdot π}{3} \cdot k)}$

- die 2 kommt von der dritten Wurzel des Betrags von $- 8$
- ich teile $π$ und $2 π$ durch $3,$ weil die Hochzahl bei z³ eben 3 ist
- da $- 8$ aber genau auf der negativen Re(z)-Achse liegt, habe ich bereits eine Umdrehung von $180$ Grad, also $π$ gegeben, weshalb ich $(\frac{π}{3} + ...)$ mache.

Daraus folgt dann schließlich
$z_{0} = 2 \cdot e^{i \cdot \frac{π}{3}}$

$z_{1} = 2 \cdot e^{i \cdot π}$

$z_{2} = 2 \cdot e^{i \cdot \frac{5 \cdot π}{3}}$

die Normalformdarstellung folgt gleich

Phystudi aktiv_icon

14:45 Uhr, 14.11.2016

ich bekomme also:

$z_{0} = 1 + i \cdot \sqrt{3}$
$z_{1} = - 2$
$z_{2} = 1 + i \cdot \sqrt{3}$

Gruß

rundblick aktiv_icon

14:56 Uhr, 14.11.2016

.
"ich bekomme also:"

.. fast richtig .. $\to$

.. bei $z_{2}$ musst du dir jedoch nochmal Gedanken zu einem Vorzeichen machen $. .$ .

.

Phystudi aktiv_icon

15:15 Uhr, 14.11.2016

Ach mist, habe mich vertippt, wollte da eig. $- i \cdot \sqrt{3}$ schreiben :-)

Danke

Gruß

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