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Komplexe Wurzel bestimmen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplex, komplexe Wurzel, Komplexe Zahlen, Wurzel, Wurzeln

TerrorArtist aktiv_icon

19:43 Uhr, 30.12.2015

Hallo,
Ich werd leider nicht ganz schlau aus meiner Mitschrift. Folgendes:
Unser Prof hatte uns eine kleine Übungsaufgabe gegeben. Wir sollten zu

(4 \sqrt{16 i})

(4te Wurzel soll das sein) alle Wurzeln, also

z 0 - z 4

bestimmen.

Die Formel dafür ist ja zk

= z 0 \cdot e^{i \cdot (2 \cdot \frac{π}{n}) \cdot k}

ist

z 0 = 4 \sqrt{16 i}

?

Um

z 1

bis

z 4

zu berechnen, muss ich ja theoretisch nur

z 0

oben in die Formel einsetzen. Um dann aber besser rechnen zu können, muss ich

4 \sqrt{16 i}

ja am besten in die Polarform bekommen. Dafür brauch ich

r

und

φ

wenn

z = r \cdot e^{i \cdot φ}

ist. Nun gut, aber wie bestimme ich nun damit

r

und

φ

?
Ich weiß, dass

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

und

φ = {tan}^{- 1} (\frac{y}{x})

ist. Aber das hilft mir da doch auch nicht weiter?

Vielleicht übersehe ich einfach ein kleines Detail, aufjedenfall komme ich irgendwie nicht drauf. Wäre nett, wenn mir mal jemand auf die Sprünge hilft :-)

Gruß

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

19:50 Uhr, 30.12.2015

Polarform bekommst Du geschenkt, durch die Formel, die in Wikipedia steht:
de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

(Deine Formel ist nicht falsch, aber unvollständig, sonst würdest Du nicht fragen, was

z_{0}

ist).

rundblick aktiv_icon

19:53 Uhr, 30.12.2015

.
na ja .. du sollst also die vier Lösungen von

z^{4} = 2^{4} \cdot i

finden ?
wo ist da denn ein TerrorProblem?

z^{4} = 2^{4} \cdot [c o s (

90°

+ k \cdot

360°

) + i \cdot s i n

(90°

+ k \cdot

360°

)] ... ...

k \in Z

TerrorArtist aktiv_icon

20:16 Uhr, 30.12.2015

z 0 = 4 \sqrt{16 i} = 16 i^{\frac{1}{4}} = 2 i

z 1 = z 0 \cdot e^{(i \cdot 2 \cdot \frac{π}{4}) \cdot 1}

z 2 = z 0 \cdot e^{(i \cdot 2 \cdot \frac{π}{4}) \cdot 2}

z 3 = z 0 \cdot e^{(i \cdot 2 \cdot \frac{π}{4}) \cdot 3}

z 4 = z 0 \cdot e^{(i \cdot 2 \cdot \frac{π}{4}) \cdot 4}

so?

rundblick aktiv_icon

20:18 Uhr, 30.12.2015

.
" so? "

... ... ... . .

. NEIN

! ...

.
.

TerrorArtist aktiv_icon

20:22 Uhr, 30.12.2015

Ich würd mich freuen, wenn man mir sagt wo mein Denkfehler ist. Oder mein Fehler allgemein.
Die Formel um

z 1

bis

z 4

zu bestimmen stimmt doch soweit? Zumindest rechnen wir mit der. Also fehlt mir ja nur

z 0

. Wie bekomme ich das denn?

Wir haben zuvor ein Beispiel gerechnet mit

z^{6} = - 27

z = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i

r = \sqrt{3}

und

φ = \frac{π}{6}

z 0 = 6 \sqrt{- 27}

und in Polarform

\sqrt{3} e^{i \cdot \frac{π}{6}}

um dann

z 1

bis

z 6

zu bestimmen musste man nur

z 0

in die 6 Formeln einsetzen und fertig.

rundblick aktiv_icon

20:30 Uhr, 30.12.2015

.
"Die Formel um

z 1

bis

z 4

zu bestimmen stimmt doch soweit?"

\to

da stimmt leider überhaupt nichts

um die

16 i

in Polarform darzustellen brauchst du den Betrag dieser Zahl
und das Argument

\to

der Betrag ist

\to 16

das Argument ist

\frac{π}{2}

und damit ist dann

\to 16 i = 2^{4} \cdot e^{(\frac{π}{2} + 2 k \cdot π) \cdot i}

kannst du jetzt weiter machen und die vier Lösungen von

z^{4} = 16 i

richtig aufschreiben ?

\to

TerrorArtist aktiv_icon

20:39 Uhr, 30.12.2015

Wie da stimmt überhaupt nichts?

Die Formel stammt aus dem Skript unseres Profs und mit genau dieser Formel haben wir auch

z 1

bis

z 6

für das Beispiel

z^{6} = - 27

berechnet.

DrBoogie aktiv_icon

20:40 Uhr, 30.12.2015

Pfeiffe auf den Prof, nimm die Formel aus der Wikipedia. :-)

Christian- aktiv_icon

20:40 Uhr, 30.12.2015

Die Formel deines Profs stimmt schon. Keine Angst.

DrBoogie aktiv_icon

20:42 Uhr, 30.12.2015

Die Formel des Profs ist richtig, keine Frage, aber sie hilft nur wenig, wenn man nicht weiß, was

z_{0}

ist.

DrBoogie aktiv_icon

20:47 Uhr, 30.12.2015

Wenn

z = r e^{i φ}

, dann

z_{0} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i φ / n}

.
Was Dir noch vielleicht fehlt, ist das Wissen, dass

i = 1 \cdot e^{i π / 2}

rundblick aktiv_icon

20:50 Uhr, 30.12.2015

.
also zu deinem Beispiel

z^{6} = - 27

da ist alles richtig bis zu der ersten Lösung

\to z_{0} = \sqrt{3} \cdot e^{\frac{π}{6} \cdot i}

aber das

\to

"
um dann

z 1

bis

z 6

zu bestimmen musste man nur

z 0

in die 6 Formeln einsetzen und fertig."

\to

ist Unsinn ( In welche 6 Formeln?

) .

. da hast du wohl etwas nicht richtig mitbekommen ..

richtig wäre: die 6 Lösungen von

z^{6} = - 27

sind

\to

z_{k} = \sqrt{3} \cdot e^{(\frac{π}{6} + \frac{2 k \cdot π}{6}) \cdot i} ... .

. für

k = 0,1,2,3,4,5

..fertig

wenn du willst, kannst du dann noch zurück in Normalformdarstellung

.

TerrorArtist aktiv_icon

21:01 Uhr, 30.12.2015

@DrBoogie
Dann brauch ich für

z 0

doch

r

und

φ

. Wie bekomme ich die aus dem, was ich gegeben habe?

@rundblick
Ich bezweifel, dass mein Prof dort Unsinn an die Tafel geschrieben hat.

z 0 = z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot i

(z

war gegeben)
Um das in die Polarform zu bringen:

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}

φ = {tan}^{- 1} (\frac{y}{x}) = \frac{π}{6}

also:

z 0 = \sqrt{3} e^{(\frac{π}{6}) \cdot i}

und

z^{6} = r^{6} \cdot cos (6 φ) + i \cdot sin (6 φ) = {\sqrt{3}}^{6} \cdot cos (6 \cdot (\frac{π}{6}) + i \cdot sin (6 \cdot \frac{π}{6})) = - 27

also hat man

z 0

und die kann man in die besagte Formel(mit

k = 1,2,3,4,5,6)

einsetzen und man bekommt

z 1

bis

z 6

rundblick aktiv_icon

21:05 Uhr, 30.12.2015

.
"also hat man

z 0

und die kann man in die besagte Formel(mit

k = 1,2,3,4,5,6)

einsetzen
und man bekommt

z 1

bis z6"

hm : das ist doch meine Frage: IN WELCHE BESAGTE FORMEL?

und nebenbei:

z_{0}

IST doch schon die erste Lösung.. es gibt keine 6 weiteren, nur noch 5 fehlen..

.

TerrorArtist aktiv_icon

21:08 Uhr, 30.12.2015

"hm : das ist doch meine Frage: IN WELCHE BESAGTE FORMEL?"

Immernoch die zk

= z 0 \cdot e^{i (2 \cdot \frac{π}{n}) \cdot k}

Und sag jetzt bitte nicht wieder, dass diese Formel falsch sei.

ja war ein

k

zu viel.

k = 1,2,3,4,5

rundblick aktiv_icon

21:26 Uhr, 30.12.2015

.

Und sag jetzt biie nicht wieder, dass diese Formel falsch sei."

nein .. es ist wohl ein Darstellungsproblem
vergleiche

\to 20 : 50

Uhr,

30.12.2015 . .

. wobei dann dein

z_{6} = z_{0}

also schreibe für deine neue Aufgabe

\to z^{4} = 16 i

vielleicht die Lösungen
zum Vergleich noch in Normalform auf..
denn hier

\to 20 : 16

Uhr,

30.12.2015

hast du eben

z_{0}

nicht richtig

(z_{0}

ist nicht

2 i)

\to

DrBoogie aktiv_icon

21:29 Uhr, 30.12.2015

r = ∣ 16 i ∣ = 16

φ = π / 2

, weil

16 i

rein imaginär mit

I m (16 i) > 0

TerrorArtist aktiv_icon

21:34 Uhr, 30.12.2015

Ich will doch nichts weiter als

z 0

in der Polarform(wofür mir

r

und

φ

fehlen) um diese dann in die Formel meines Profs einzuseten. Genau diese Formel, weil ich diese auch in der Klausur verwenden will. Keine Formel aus Wikipedia, sondern die, die unser Prof uns gegeben hat.

z = z 0 = 4 \sqrt{16 i}

aber so kann ich

z 0

nicht in die Formel einsetzen, weshalb ich gerne

z 0

in Polarform hätte.

@DrBoogie
Wie kommt man auf

φ

DrBoogie aktiv_icon

21:41 Uhr, 30.12.2015

Bist Du vielleicht blind? Ich habe oben geschrieben:

z_{0} = \sqrt[n]{r} e^{i φ / n}

.
Du hast

r = 16

, wie ich geschrieben habe,

φ = π / 2

und

n = 4

in diesem Fall. Bist Du nicht imstande, diese Formel anzuwenden?

rundblick aktiv_icon

21:42 Uhr, 30.12.2015

"z0 nicht in die Formel einsetzen, weshalb ich gerne

z 0

in Polarform hätte."

aber das hat man dir doch oben schon notiert ?..

z_{0} = 2 \cdot e^{\frac{π}{2 \cdot 4} \cdot i}

DrBoogie aktiv_icon

21:44 Uhr, 30.12.2015

Normalerweise gilt

φ = \arctan (y / x)

, aber im Fall

x = 0

wie in Deinem Fall macht man das anders, und zwar, wie ich geschrieben habe:

I m (z) > 0

φ = π / 2

. Dazu musst Du Dir einfach die komplexe Ebene vorstellen und wo die Zahl

16 i

liegt.

TerrorArtist aktiv_icon

22:00 Uhr, 30.12.2015

Okay gut, dann hab ich's jetzt. War mir nur ein Rätsel, wie ich auf das

φ

und

r

komme. Oben wurde das zwar schon erwähnt, mir war dort der Weg aber nicht klar. Die Formel für

z 0

in Polarform hatte ich auch selber, nur wollte ich dort nichts einsetzen und verstanden zu haben, woher die Werte kommen.

Ist der Betrag von

| x \cdot i |

immer x? Wie hier Betrag von

| 16 i | = 16

DrBoogie aktiv_icon

22:02 Uhr, 30.12.2015

Wenn

x

reell ist, dann ja,

∣ x i ∣ = ∣ x ∣

(aber nicht immer

x

, nur bei positiven

x

). Wenn Du die Formel

∣ x + i y ∣ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

ansehen würdest, könntest Du auch selber darauf kommen.

rundblick aktiv_icon

22:09 Uhr, 30.12.2015

.
und so ganz nebenbei zur Auflockerung:

du kannst deine vier Lösungen von

z^{4} = 16 i

ganz einfach mit mit Zirkel und Lineal sichtbar machen :
zeichne (

i n

der GaussEbene) :

1) \to

Kreis

k

mit

r = 2

um den Ursprung

O

2) \to

halbiere den 90°-Winkel

\to

45° , nochmal halbieren

\to

22,5°

3) \to

zeichne den Radius OA ein mit Mittelpunktswinkel 22,5°

\to

Kreispunkt

A \to z_{0}

4) \to

zeichne - mit Startpunkt

A -

das dem Kreis inbeschriebene Quadrat ABCD ein

. .

. dh: drehe OA um

O

jeweils um 90° weiter...

. .

. die Drehungen entsprechen deiner Multiplikation von

z_{0}

jeweils mit

e^{\frac{π \cdot i}{2}}

die vier komplexen Zahlen, die zu

A, B, C, D

gehören, sind deine 4 Lösungen

z_{k} .

k = 0,1,2,3

viel Vergnügen

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