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Komplexes Ergebnis aus Wurzel mit natürlicher Zahl

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Eigenwerte

Tags: Eigenwert, Komplexe Zahlen, Wurzelziehen

zimtkakao aktiv_icon

17:49 Uhr, 06.02.2018

Hallo,

ich habe ein Problem mit der von meinem Professor gewünschten Handhabung von Wurzeln bei der Berechnung von Eigenwerten einer Matrix (ich weiß nicht, ob es von Belang für euch ist, das es mit den Eigenwertberechnung von Matrizen zu tun hat).

Ich habe den Term (λ+3)*(λ²-10λ+5).
Als Ergebnis mit der Mitternachtsformel bekomme ich

\frac{10 \pm \sqrt{80}}{2}

und käme nach der Kürzung auf

5 \pm 2 \cdot \sqrt{5}

Auf dem Lösungsblatt steht allerdings als Ergebnis

5 \pm 2 i

Genauso wie ich beim Term (λ+2)*(λ²-8λ+10) auf

\frac{8 \pm \sqrt{24}}{2}

komme und nach der Kürzung

4 \pm \sqrt{6}

herauskriege, anstatt

4 \pm 3 i,

wie es auf dem Lösungsblatt steht.

Ich weiß, dass man ein komplexes Ergebnis erreichen kann, wenn unter der Wurzel ein Minus steht, also zB.

\sqrt{- 25} = 5 i

. Aber in den beiden Fällen oben ist die Zahl in der Wurzel immer positiv. Ich verstehe einfach nicht, wie mein Professor da auf Ergebnisse mit komplexen Zahlen kommt.

Vielen Dank im Vorraus.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

18:11 Uhr, 06.02.2018

Die Gleichungen sind wahrscheinlich falsch. 1. Gleichung damit es komplex wird lautet

λ^{2} - 10 \cdot λ + 29

2. Gleichung

λ^{2} - 8 \cdot λ + 25

oder die Lösungen vom Prof sind falsch hat sich verrechnet. Kann ja auch ein wissenschaftlicher Mitarbeiter oder ein Student gelöst haben.

anonymous

18:15 Uhr, 06.02.2018

Poste mal die Originalmatrix und Aufgabenstellung bitte.

zimtkakao aktiv_icon

18:28 Uhr, 06.02.2018

Hab ich mich dann vielleicht total verrechnet?
Beide Aufgaben sind identisch, bis auf die Zahlenwerte der Matrizen.

Die Originalmatrix lautet:

A = (\begin{matrix} 5 & 10 & - 1 \\ - 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix})

bzw.

A = (\begin{matrix} 4 & 3 & - 5 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 1 & 1 & 6 \end{matrix})

a)

Bestimmen sie die Eigenwerte von A.

b)

Verifizieren Sie für die Matrix A den Satz aus der Vorlesung: "Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante von A und die Summe der Eigenwerte ist gleich der Spur von A."

c)

Bestimmen Sie zu einem der Eigenwerte von A einen zugehörigen Eigenvektor.

anonymous

18:43 Uhr, 06.02.2018

charakteristisches Polynom:

- λ^{3} + 6 \cdot λ^{2} - 9 \cdot λ - 50

reelle Eigenwerte:

{- 2}

komplexe Eigenwerte:

{

4-3î ; 4+3î }

Eigenvektoren:

zum Eigenwert

- 2 :

[5; - 3; 5]

zum Eigenwert 4-3î:

[

-1+3î

; 1; 0]

zum Eigenwert 4+3î:

[

-1-3î

; 1; 0]

anonymous

18:47 Uhr, 06.02.2018

charakteristisches Polynom:

- λ^{3} + 7 \cdot λ^{2} + 11 \cdot λ - 57

reelle Eigenwerte:

{- 3; 2,550510257216822; 7,449489742783178}

Eigenvektoren:

zum Eigenwert

- 3 :

[16; - 29; 5]

zum Eigenwert

2,550510257216822 :

[3,4494897427831783; 0; 1]

zum Eigenwert

7,449489742783178 :

[- 1,4494897427831783; 0; 1]

Alle Proben OK

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm

zimtkakao aktiv_icon

19:13 Uhr, 06.02.2018

Aah, jawoll! Ich habe meinen Fehler gefunden!
Bei der Berechnung der Eigenwerte mit Hilfe des Laplace'schen Entwicklungssatz habe ich jedes Mal einen Fehler mit den Vorzeichen gemacht. Wenn ich die Vorzeichen zur Abwechslung mal richtig setze, bekomme ich tatsächlich die Lösung laut Lösungsblatt ;-)

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!

LG

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