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Konvergente/divergente Folgen, Häufungspunkt

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Definition, Zusammenhang

Stochastikfeind aktiv_icon

19:55 Uhr, 03.04.2012

eine folge (an)n

\in ℕ 0

ℝ

heißt konvergent mit dem grenzwert (limes)

a \in ℝ,

wenn es zu jedem

ε > 0

ein

n 0 \in ℕ 0

gibt, so dass für alle natürliche Zahlen

n \geq n 0

|an-a|<

ε

gilt.

(ich habe hier zwar immer

n 0

und

ℕ 0

geschrieben, aber in meinem skript hängt die 0 immer unter dem jeweiligen

n

und

N,

weiß nich wie ich das hier unten dranhängen soll deswegen hab ichs direkt daneben geschrieben, aber wisst bestimmt was gemeint ist)

kann mir jemand die definition in einfachen und präzisen worten erklären? wofür stehen

ε

und

n 0

überhaupt? ich meine,

ε

ist irgendeine kleine Zahl größer als 0 und

n 0

sind einfach alle reellen zahlen inklusive der 0 oder? aber dann ist

ℕ 0

ja dasselbe wie

n 0

wenn das stimmt was ich sage, was aber irgendwie keinen sinn ergibt...und wie kann

n \geq n 0

gelten, ist

n

nicht kleiner weil da die 0 fehlt? normalerweise versteh ich solche definitionen relativ schnell, aber jetzt hängts grad...würd mich über verständliche hilfe freuen, danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

weisbrot aktiv_icon

20:06 Uhr, 03.04.2012

also erstmal die formale definition:

eine folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ_{0}}

mit

a_{n} \in ℝ \forall n \in ℕ_{0}

heißt konvergent gegen den grenzwert

a \in ℝ

(geschrieben:

lim_{n \to \infty} a_{n} = a),

wenn es zu jedem

ε > 0

ein

n_{0} \in ℕ_{0}

gibt, sodass

| a_{n} - a | < ε \forall n \geq n_{0}

.

nun zu einigen sachen:

ℕ_{0}

ist die menge der natürlichen zahlen inklusive der 0.

n_{0}

ist eine zahl die du hier aus den nat. zahlen wählst; die 0 hat erstmal nichts weiter zu bedeuten, du hättest sie auch

n'

oder

n_{1}

oder

x

oder irgendwie nennen können. die definition besagt: für jeden (noch so kleinen) abstand lässt sich ein index finden, sodass alle folgenglieder mit mindestens diesem index näher am grenzwert liegen als der besagte abstand. du kannst dir das auch glaube bei youtube in diversen videos veranschaulichen lassen. lg

Stochastikfeind aktiv_icon

20:32 Uhr, 03.04.2012

Ich danke dir...heißt

n \geq n 0

dass meine natürliche zahl

n

die ich wähle größer oder gleich sein muss als das

n 0

vom

ε

was ich von den natürlichen zahlen gezogen hab?

" so dass für alle natürlichen zahlen

n \geq n 0

|an-a|<

ε

gilt". Bezieht sich das

n

hier auf das an, also dass mein an größer oder gleich sein muss als das

n 0

von meinem

ε

weisbrot aktiv_icon

20:56 Uhr, 03.04.2012

n

wählst du garnicht; du wählst ein

n_{0}

so, dass die aussage für alle

n,

die größer als dieses gewählte

n_{0}

sind, stimmt.
deiner 2. frage: ja - für alle

n

die größer als

n_{0}

sind muss

a_{n}

die eigenschaft haben, dass

| a_{n} - a | < ε

. aber es muss nicht

a_{n} \geq

irgendwas sein..
beispiel:

{(a_{n})}_{n \in ℕ} = {(\frac{1}{n})}_{n \in ℕ}

. ich behaupte, das konvergiert gegen 0. beweis: nach der archimedischen eigenschaft (oder arch. axiom, je nachdem) gibt es zu jeder positiven reellen zahl

ε

eine natürliche zahl (ich nenne sie)

n_{0},

sodass

n_{0} > \frac{1}{ε}

. dann folgt:

| a_{n} - 0 | = | \frac{1}{n} - 0 | = \frac{1}{n} < ε \forall n \geq n_{0}

.
wie groß müsste ich hier also

n_{0}

mind. wählen, wenn ich

ε = 0,1

vorgebe? lg

Stochastikfeind aktiv_icon

03:20 Uhr, 04.04.2012

"gibt es zu jeder positiven reellen zahl ε eine natürliche zahl (ich nenne sie)

n 0,

sodass

n 0 >

1/ε."

muss es zu JEDER positiven reellen zahl eine natürliche zahl geben oder gibt es nur eine natürliche zahl die für alle positiven reellen zahlen gilt?

zu deiner frage:

11

vielleicht?

CKims aktiv_icon

03:37 Uhr, 04.04.2012

mit einigen rechschreibfehlern weil damals so schnell zusammengeschustert hier ein beispiel

http//www.onlinemathe.de/forum/Zeigen-sie-dass-die-Folge

lg

weisbrot aktiv_icon

15:22 Uhr, 04.04.2012

ja es soll zu jeder pos. reellen zahl eine geben (sie darf also von dieser zahl abhängen siehe das erste beispiel). wenn du eine für alle findest dann ist das natürlich genausogut (beispiel: nullfolge - also alle folgenglieder

= 0;

konvergiert offenbar gegen

0,

denn

| a_{n} - 0 | = | 0 - 0 |) = 0

und 0 ist immer kleiner als jedes positive

ε;

du kannst also irgendein

n_{0}

nehmen,

z . b

. also auch

1,

oder

27

oder iwas, und da

| a_{n} - 0 |

sowieso immer (für alle

n) = 0 < ε

ist ist es das auch für alle

n \geq n_{0},

egal wie du

n_{0}

wählst. ach ja und

11

kommt hin. lg

Stochastikfeind aktiv_icon

03:01 Uhr, 05.04.2012

danke, ich denke konvergenz hab ich einigermaßen kapiert, auch an moklok ein dankeschön.

ich hätte allerdings nochn paar fragen zum häufungspunkt. erstmal die definition:
eine zahl

a \in ℝ

heißt häufungspunkt der Folge (an)

n \in ℕ 0,

wenn es zu jedem

ε > 0

unendlich viele Folgenglieder in der epsilon-Umgebung

(a - ε, a + ε)

gibt.

Aussagen diesbezüglich:
a)ein grenzwert a einer konvergenten folge ist auch ein häufungspunkt der folge. (Warum? weil der grenzwert ja vllt schon "das letzte glied" ist und demnach die definition vom häufungspunkt zutrifft vielleicht?

b)ist an eine konvergente folge mit dem grenzwert

a,

dann ist a der einzige häufungspunkt der folge. denn wenn eine folge mehr als einen häufungspkt. besitzt, kann sie nicht konvergent sein und ist damit divergent. (kurze erläuterung?)

beispiele:
c)die folge an:=

{(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{1 + n}

für alle

n \in ℕ

ist nicht monoton und beschränkt.

D . h

. die folge besitzt mindestens einen häufungspunkt (bis hierhin alles klar soweit). Genauer gilt, dass die Folge nur den Häufungspkt 0 besitzt und damit eine konvergente Folge mit dem Grenzwert 0 ist. (wie kommt man darauf, dass es nur einen einzigen Häufungspkt gibt und der 0 ist?)

d)

die folge an:=

{(- 1)}^{n} \cdot 5 + (\frac{1}{n})

für alle

n \in ℕ

ist nicht monoton und beschränkt.

D . h

. die folge besitzt mindestens einen häufungspkt (bis hierhin klar). genauer gilt, dass die folge die beiden häufungspunkte

- 5

und 5 besitzt.d.h. die folge ist keine konvergente, sondern eine divergente folge. (wie kommt man auf

- 5

und

5)

Danke im Voraus

CKims aktiv_icon

14:52 Uhr, 05.04.2012

a)

wenn a grenzwert einer folge ist, dann liegen ja unendlich viele folgenglieder innerhalb

| a_{n} - a | < ε

. also sind auch die forderungen für einen häufungspunkt erfüllt.

ich finde es immer leichter zu verstehen, wenn man mal ein beispiel hat, das nicht die gemeinsamkeiten, sondern die unterschiede aufzeigt...

a_{n} = {(- 1)}^{n}

diese folge schwankt immer zwischen 1 und

- 1

. deshalb besitzt die folge keinen grenzwert. man nennt diese folge auch divergent...

aber besitzt diese folge häufungspunkte... naemlich den häufungspunkt 1 und

- 1

. denn es gibt unendlich viele folgenglieder, die den wert 1 und

- 1

annehmen.

ein häufungspunkt ist also ein schwaecherer begriff als der grenzwert. beim grenzwert muessen ALLE folgenglieder ab einem bestimmten

n_{0}

innerhalb der

ε

umgebung liegen. beim häufungspunkt muessen es nur unendlich viele sein... es kann also noch glieder geben, die zwischendurch abhauen.

deshalb ist ein grenzwert auch immer ein häufungspunkt, weil beim grenzwert auch unendliche viele glieder in die epsilonumgebung fallen.

kannst du damit vielleicht schon deine weiteren fragen selber beantworten?

Stochastikfeind aktiv_icon

02:15 Uhr, 07.04.2012

Ich danke dir vielmals! jetzt weiß ich warum 5 und

- 5

die häufungspunkte sind...weil je höher ich

n

wähle (bei dem 1. term ändert sich ja immer nur das vorzeichen) und der 2. term konvergiert ja mit wachsendem

n

gegen 0...deswegen

- 5

und

5,

richtig?

CKims aktiv_icon

14:26 Uhr, 09.04.2012

korrekt..

Stochastikfeind aktiv_icon

17:53 Uhr, 05.09.2012

die folge an=

{(1 + (\frac{1}{n}))}^{n}

für alle

n

aus den natürlichen Zahlen ist konvergent.
meine frage: warum ist das konvergent?

(\frac{1}{n})

läuft ja gegen 0 wenn

n

gegen unendlich geht, dann bleibt ja nur noch 1 übrig. in meinem skript steht: "die folge an ist nach unten durch 1 beschränkt und nach oben durch 3." wie kommt man hier auf die 3?

Shipwater aktiv_icon

18:32 Uhr, 05.09.2012

Du hast hier sozusagen den Fall

1^{\infty}

. Das ist allerdings ein unbestimmter Ausdruck. Mehr dazu hier:
http//de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_%28Mathematik%29
Und die Folge konvergiert, weil sie monoton wachsend und nach oben beschränkt ist (Monotoniekriterium).
Dass 3 eine obere Schranke der Folge ist, wird man wohl mit dem binomischen Lehrsatz und anschließendem Abschätzen nachweisen können. Du kannst es ja mal versuchen. Und warum hast du für die neue Frage eigentlich keinen neuen Thread eröffnet?

Stochastikfeind aktiv_icon

16:04 Uhr, 09.09.2012

danke erstma für diene antwort. also kann man hier sagen, dass die folge gegen 1 hoch unendlich konvergiert weil der zweite ausdruck eh 0 wird bei wachsendem

n

und nur noch

1^{n}

bleibt, falls ich es richtig verstanden hab? den rest hab ich verstanden. ich habe deswegen keine neuen thread eröffnet, weil ich es in erinnerung hatte dass ich schon mal ne frage zu folgen gestellt habe und die frage hier einfach kurz wieder geöffnet habe, wieso unnötig neuen thread erstellen :-)

Shipwater aktiv_icon

16:14 Uhr, 09.09.2012

Nein das kann man nicht sagen. Die Folge konvergiert gegen die eulersche Zahl

e (\approx 2,71828)

Und es ist üblich für neue Fragen einen neuen Thread zu eröffnen, damit es nicht unübersichtlich wird. Außerdem kann es zu Ladeproblemen kommen, wenn der Thread zu lang wird (da hier im Forum Threads nicht auf Seiten aufgeteilt werden).

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