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Zeigen sie, dass die Folge....

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Grenzwerte

Tags: Folgen, Grenzwert, Reihen

anonymous

16:35 Uhr, 20.10.2010

Also ich bin gerade aus da Mathe Übung nach Hause gekommen und hab jetzt riesen Fragezeichen auf meinem Kopf.

Ich hätte diese Aufgabe nur über den Grenzwert gelöst: $\lim_{n \to \infty} (\frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{2}) = \frac{1}{2}$

Also wäre doch damit gezeigt, dass die Folge gegen a=1/2 konvergiert.

Aba anscheinend ist das nicht so, und wir hätten, dass irgendwie so rechnen sollen:

$| a_{n} - \frac{1}{2} | = | \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n} + \frac{1}{{2 n}^{2}} - \frac{1}{2} | = | \frac{1}{2 n} + \frac{1}{{2 n}^{2}} | = \frac{1}{2 n} + \frac{1}{{2 n}^{2}} < ϵ \frac{n + 1}{{2 n}^{2}} < \frac{2 n}{{2 n}^{2}} = \frac{1}{n} | a_{n} - \frac{1}{2} | < \frac{1}{n} < ϵ f ü r n > \frac{1}{ϵ} W ä h l e n N_{ϵ} \leq \frac{1}{ϵ} + 1$

Und ich versteh, das absolut nicht, bitte um eine Erklärung!

Danke, Stephanie

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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CKims aktiv_icon

16:49 Uhr, 20.10.2010

hallo,

so wie du das loesen wuerdest ist es richtig. aber geht man dann davon aus, dass man schon weiss, was denn eigentlich

lim

genau bedeutet.

wenn man nun

lim

zum ersten mal sieht, verlangt man eine genaue definition, was denn

lim

eigentlich genau tut. diese definition ist dir ja gegeben. jetzt ist in der aufgabenstellung verlangt, sich doof zu stellen und nicht zu wissen, was denn

lim

ist. was macht man dann? man nimmt die gegebene definition und versucht ein ergebnis aus dieser definition abzuleiten. dann entsteht diese lange eklige rechnung.

lg

anonymous

16:50 Uhr, 20.10.2010

Okay danke.

Aber genau diese eklige lange Rechnung verstehe ich nicht.

Könntest du mir die bitte erklären!?

CKims aktiv_icon

17:41 Uhr, 20.10.2010

also...

du hast eine folge

a_{n}

. man vermutet jetzt dass der grenzwert

a = \frac{1}{2}

ist (was dir ja netterweise schon gegeben ist). wenn dem wirklich so ist muss ja

| a_{n} - a |

sehr klein werden. frage ist wie klein ist denn sehr klein? das kommt gleich aber sagen wir erstmal kleiner als

0.001

| a_{n} - a | < 0.001

sooo... setzen wir nun für

a_{n}

erstmal die gegebene formel ein und für a die

\frac{1}{2},

dann kommt da raus.

bla bla bla

= \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n^{2}}

und das soll immernoch kleiner als unsere

0.001

sein. hmmm... fuer welches n-tes glied der folge ist das denn erfuellt? dazu weiter umformen

\frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n^{2}} = \frac{1}{2 n} \frac{n}{n} + \frac{1}{2 n^{2}} = \frac{n}{2 n^{2}} + \frac{1}{2 n^{2}} = \frac{n + 1}{2 n^{2}}

hmm.. immernoch schwer zu sagen. leichter wird es wenn hier eine abschaetzung nach oben mache. naemlich mit

\frac{n + 1}{2 n^{2}} < \frac{2 n}{2 n^{2}}

wenn ich also ein

n > 0

finde, das dafuer sorgt, dass die rechte seite der ungleichung kleiner

0.001

ist, ist die linke seite erst recht kleiner als

0.001

. die linke seite ist ja naemlich kleiner als die rechte...

ich kann also unbesorgt mit der rechten seite weiterrechnen, wenn ich garantieren will dass unsere anfangsformel kleiner als

0.001

sein soll. man macht dass weil so die rechnung viel einfacher wird. jetzt kann naemlich kuerzen und es kommt raus

\frac{2 n}{2 n^{2}} = \frac{1}{n}

und dass soll immernoch kleiner als unsere

0.001

sein. also

\frac{1}{n} < 0.001

was hat uns das jetzt insgesamt gebracht? wenn ich

n

so waehle, dass

\frac{1}{n}

kleiner als

0.001

wird, weiss ich auch dass unsere anfaengliche forderung

| a_{n} - a | < 0.001

erfuellt ist... bist du noch dabei? also waehle ich

n = 1001

. und wenn das gilt hast du nachgewiesen, dass

a = \frac{1}{2}

grenzwert von

a_{n}

ist. denn wenn das nicht klappt, wird differenz nicht klein genug und a ist nicht grenzwert von

a_{n}

.

sooo... jetzt reicht das aber nicht. beim grenzwert muss das auch gelten wenn ich nicht kleiner als

0.001

gesagt haette sondern auch wenn das ganze kleiner als

0.000000001

sein soll. was machst du? du sagst kein problem ich waehle einfach

n = 1000000000000001

. wenn man dieses spiel weiter treibt, merkt man, dass man mit dieser definition genau erklaert was "beliebig klein" bei den grenzwerten bedeutet. allgemein sagt man dass dann so

wenn einer ankommt und sagt: ich habe noch ein viel kleineres

ε

für dich.

dann sagst du: kein problem ich waehle dann mein

n

\frac{1}{ε} + 1

und bleibe damit mit meiner anfaenglichen bedingung

| a_{n} - a | < ε

immer unter dem gegebenen

ε

.

puuhhh....

anonymous

17:45 Uhr, 20.10.2010

Danke, danke, danke!

Mein Mathe-Tutor war da nicht so nett und ausführlich beim erklären :)

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